今天物理考试，老师提到了一个有趣的积分问题。听说是拉普拉斯变换的一个应用之一（生成函数？），但是我没听过那个东西所以硬上了：D

1）试求积分

2) 试说明积分

的收敛性

1）对于第一问可以考虑构造函数

那么

可以考虑求

,得到

现在我们可以得到

了，对上式积分得到

现在来确定常数项

. 由于

(2)第二问可以考虑利用第一问得到的结果：

定义

需要注意的是，因为被积函数

在

趋向于0时不收敛，而

,所以