来源：陈敏伯科学网博客

摘要：对于自然界的许多规律，哪怕我们对其物理具体内容还不知道、实验证据还不足，但是可以单凭问题中明显可见的对称性质，就可以从理论上演绎出一些重要结论。

很长时间以来，化学界关于元素周期表本质的认识：要么是回顾历史过程，可那是个充满猜测的历史；要么希望看到具体化学性质的周期变化，可是遇到具体性质难以数值化的困难。即便想从电子结构考虑，可薛定谔方程宛如一层不透明的外壳，难以透过它发掘隐藏在化学性质背后的物理本质。于是，有些中外化学家至今还误认为对元素周期表本质的认识还有待发展，他们误以为：随着未来的科学发展，包括新元素的实验发现、稳定岛元素的实验合成、相对论效应的探索……等等，元素周期表会具有新的形式[1-4]。显然，他们不是指元素周期表外表形式的多样性或艺术性，那无关紧要。

这表明：这些化学家没有看到对称性在其中的决定性作用。实际上：

1、对元素周期表物理本质的认识是在量子论发展的过程中顺带完成的。早在1950年代之前就完全搞清了周期表的物理本质：一是原子核电荷Z的因素；二是自由原子外形的球对称决定了原子内电子状态的角分布；这两个物理根源：核电荷与球对称；在化学界，前者人人都知道，而后者知道的人却不多。

2、元素周期表表达的是自由原子的化学行为，自由原子的球对称是电子状态的第二位决定因素。单凭Lie群就可以从球对称求得电子云的角分布。

3、所以，元素周期表的物理本质已成定论，未来的科学不可能改变它。

无疑，微观世界中自由原子的电子云服从球对称。而宏观世界鼓膜的振动也服从二维的“球对称”。两者有共性。对称性是自然界的一种有时是显而易见的性质。研究对称性的学问是群论。群论运用于物理学、化学的基本思想在于：对于自然界的许多规律，哪怕我们对其物理具体内容还不知道、实验证据还不足，但是可以单凭问题中明显可见的对称性质，就可以从理论上演绎出一些重要结论，尽管这些结果不是体系性质的全部行为，但却是体系必须严格服从的约束。

1925到1930年代间在旧量子论的基础之上建立了量子力学，其中解释原子、分子光谱是关键课题之一。德国数学家Hermann Weyl（1885-1955）、美籍匈牙利数学家John von Neumann（1903-1955）、美籍匈牙利理论物理学家Eugene Wigner（1902-1995）和荷兰理论物理学家Hendrik Casimir（1909-2000）运用群论成功地对原子光谱作出量子力学的正确解释。开启了对称性研究物理学根本规律的重要途径。也随带把元素周期表的（除了核电荷之外的）物理本质问题彻底搞清了。

     

图1  Lie群的创立者挪威数学家S. Lie（左）。德国数学家Hermann Weyl（中）和美籍匈牙利理论物理学家Eugene Wigner（右）。1963年Wigner因群论运用于量子力学、原子光谱而荣获诺贝尔物理学奖。

很长时间内，只有数学大师们才认识到群论在科学中的最高地位，认为群论是现代数学中概括性最强、影响最大的分支。S. Lie说：“群能解决一切问题。”F. Klein说：“群把整个数学统一起来了”。H. Poincaré说：“群论就是那抛弃其内容而化为纯粹形式的整个数学。” I. Gelfand说：“全部数学就是某种类型的表示理论。”正是群论中的表示理论将抽象的群元变换成可以具体操作的对象。表示理论将数学中貌视不同的各个分支贯通起来，所以说群把整个数学统一起来了。

零散的知识不算科学，知识被系统化继而形成统一、自洽的理论之后才是科学。群论就是一门不但将数学各分支系统化、贯通成整个数学理论框架的学问；它后来又在物理学和化学科学达到极高的地位，起到纲举目张的作用[5-7]。

对称性是体系的一种全局性质。化学家熟悉的对称性有晶体外形的对称性、分子结构的对称性和原子、分子轨道的对称性。不用先求分子轨道的具体解，人们就可以单凭分子结构的对称性，从群论得出可能存在的几种分子轨道及其能级分布。不符合对称性的轨道一定是不存在的。不过，化学家熟悉的以上对称性都属于离散群，群中的对称操作（即群元）总数为某个有限大的整数。但是，对于自由原子那样属于球对称的物体，在指定通过球心的旋转轴后，绕轴旋转的角度是可以连续变化的、总数无穷大的实数值 ，另外，旋转轴在空间中的取向又是可以连续变化的，所以它属于连续群，群元总数无穷大，需要用群论中的一支Lie群，来分析[5-7]。

Lie群的基本概念是只需考虑恒等变换附近的无穷小变换。就可以把研究无穷多个群元的Lie群的表示问题化为研究有限个无穷小生成元的表示问题，即Lie代数的表示问题。找到了Lie代数的不可约表示也就找到了Lie群的不可约表示。可以用群论严格证明，符合某种对称性本质上就是描述该体系（无论是宏观还是微观）整体行为的任意函数一定要受到该对称性的严格约束，不符合对称性的函数一定不是问题的解。Lie群理论[5]证明了三维旋转球对称所属的SO(3)群或SU(2)群的第II类可对易的完备算符集，其共同的本征函数集就是球谐函数

 

其中为联属Legendre多项式，l = 0,1,2,…，和m = -l,-l+1,…, l-1, l。换言之，这一组球谐函数{Ylm(θ,φ)}在方位角θ = [0, π]和φ = [0, 2π]区间内构成一组正交归一完备函数集。这样的表述是严格的、天衣无缝的，且不可能由其他函数集来展开。正如，不同频率的正弦波全体可以描述任意平面波，却不能用来描述具有球对称体系的球面波状态，哪怕只描述其中一个球面波也做不到。l = 0,1,2,3,4,5,…分别就是s, p, d, f, g, h,…状态；每个l具有2l +1个不同的m状态。

所以对于自由原子，不用求薛定谔方程，单凭Lie群就可以得到其中电子轨道的部分信息。因为这里讨论的三维空间只有(θ,φ)两个方位角，可见Lie群给出的解其实是电子状态的角分布。结果与解薛定谔方程得到的类氢原子中的电子状态的角分布是完全相同的，殊途同归。

所以，撇开元素周期表外表形式的多样性或艺术性不谈（那无关紧要），元素周期表的物理本质已成定论，未来的科学不可能改变它。

当然，无论如何上述误解还属于科学之内的认识。令人匪夷所思的是，居然还有人走得更远，企图用周易的阴阳说来“解释”元素周期表[8]。

他们这些学者（的确是科班学者，只是看来不諳物理学、化学、数学）声称可以运用《周易》的阴阳八卦理论探讨元素周期表问题。其实，只要看任意一本群论入门书的前10页，反复几遍、思索一番，很容易看出：即便用现代数学的概念把《周易》阴阳论的含义抬高，充其量也只是个二阶群C2；所谓黑白、阴阳、男女……之间的“由此及彼”的关系就是C2群中的两种群元：恒等元I和C2元。C2群是最简单的一种群，只代表自然界中最简单的的一种事物间的关系（即对称性）。而自然界万物间存在的关系实际上远不止二阶群一种，还有好多种群，代表更复杂的事物间的关系。人们误以为阴阳八卦可以“由此及彼”覆盖自然界中任意事物之间的联系，其实在这一点上《周易》远远无法与群论相比。群论是现代科学的代表。

群之间可能存在从属关系，一个群可以是另一个群的子群。例如二阶群C2是三维旋转群R3的子群。R3又是代表球对称的SO(3)群或SU(2)群的子群。上述自由原子的球对称性就属于SO(3)群，不属于二阶群，或二阶群只是SO(3)群的一个子群。既然子群的完备集不可能也是“母”群的完备集，所以二阶群C2的《周易》是绝对无法理解元素周期表球对称的本质的[9]。

周易论者遇到s, p电子有2+6 = 8，就非要与《周易》八卦中的“八”硬凑在一起。即使凑上几个元素，此后d, f电子的10与14怎么凑呀？将来g, h电子的18与22又怎么凑呀？凭群论就可以断言这样的硬凑毫无价值。

两千年之后，人们还陶醉在《周易》阴阳论这二阶群中，误以为万物之间只有这一种事物间的关系。他们没看到自然界中万物之间还有很多种其他关系（很多种群），那是明摆的现实。宇称也属于一种对称性，难怪，以破除宇称守恒定律著名的杨振宁先生一眼就看出问题，振聋发聩地指出：《易经》影响了中华文化中的思维方式，是近代科学没有在中国萌芽的重要原因之一[10]。

谨以此文，发扬现代科学的光大，让阴阳论留在故纸堆吧。那绝对不值得提升为公民科学素质的基准之一，除非你还不懂群论。

参考文献

[1] Scerri, E., Selected Papers on the Periodic Table, London: Imperial College Press, 2009.

[2] Scerri, E., The Dual Sense of the Term "Element," Attempts to Derive the Madelung Rule, and the Optimal Form of the Periodic Table, If Any, Int J Quantum Chem, 2009, 109: 959-971.

[3] 周佳伟，占小红，“寻求元素位、构、性的统一：元素周期表的形成与发展”，科学, 2017, 69(1): 45-49。

[4] 杨奇、高胜利等人，“再论化学元素周期表的形成和发展”，大学化学, 2017, 32(6): 46-67.

[5] 陈金全，《群表示论的新途径》，上海科学技术出版社，1984年；pp.1-2, 67-69, 221-230.（1987、2002年两次出版英文版。这是本享有国际声誉的书，让熟悉量子力学的读者不再把学习群论视为畏途）。

[6] Thyssen, P.; Ceulemans, A., Shattered Symmetry: Group Theory from the Eightfold Way to the Periodic Table, Oxford University Press, 2017，（迄今最简单且有实际内容的一本Lie群入门书，直指元素周期表）。

[7] Schwichtenberg, J., Physics from Symmetry, Springer, 2015.（Lie群的入门书）

[8] 徐道一，《周易科学观》，北京：地震出版社，1992年；159-168页。

[9] 陈敏伯，“评《周易科学观》对元素周期表的解释”，科学文化评论, 2005, 2(2): 108-117.

[10] 杨振宁先生2004年9月3日在人民大会堂举行的“2004文化高峰论坛”上所做题为“《易经》对中华文化的影响”的报告。http://blog.sciencenet.cn/blog-39840-728842.html

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