【本章学习目标】
⒈理解二重积分的概念与性质，
了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系，
会
用性质比较二重积分的大小，估计二重积分的取值范围。
⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限，如何改换二次积分的积分次序，
并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。
熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分
的计算方法。
⒊掌握曲顶柱体体积的求法，会求由曲面围成的空间区域的体积。
9.1
二重积分的概念与性质
【学习方法导引】
1
．
二重积分定义
为了更好地理解二重积分的定义，
必须首先引入二重积分的两个
“原型”，一个是几何的“原型”－曲顶柱体的体积如何计算，另一
个是物理的“原型”—平面薄片的质量如何求。从这两个“原型”出
发，对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。
在二重积分的定义中，必须要特别注意其中的两个“任意”，一
是将区域
D
成
n
个小区域
1
2
,
,
,
n
L
的分法要任意，二是在每个
小区域
i
上的点
(
,
)
i
i
i
的取法也要任意。有了这两个“任意”，
如果所对应的积分和当各小区域的直径中的最大值
0
时总有同一
个极限，才能称二元函数
(
,
)
f
x
y
在区域
D
上的二重积分存在。
2
．明确二重积分的几何意义。
(1)
若在
D
上
(
,
)
f
x
y
≥
0
，则
(
,
)d
D
f
x
y
表示以区域
D
为底，以
(
,
)
f
x
y
为曲顶的曲顶柱体的体积。
特别地，
当
(
,
)
f
x
y
＝
1
时，
(
,
)d
D
f
x
y
表示平面区域
D
的面积。
二重积分的计算
在极坐标系中二重积分的计算
在直角坐标系中二重积分的计算
二重积分的概念与性质
二重积分的应用
