无穷存在吗?

来源:数学职业家

无穷大的存在问题是一个令人惊讶的古老问题。亚里士多德首先引入了一个明确的区分,以帮助理解它的意义。他区别两种不同的无穷大。其中之一,他称之为潜在无穷大:这种无限大刻画了无止境的宇宙或一个永无休止的名单,例如自然数1、2、3、4、5,等等,永远继续下去。这些是没有结束的列举或没有边界的疆场,你永远无法到达数的终点,或乘太空飞船达到无休止的宇宙终端。亚里士多德很乐意这些潜在的无穷大,他认识到,它们的存在在他关于宇宙的思维方式中没有制造任何大麻烦

亚里士多德将所谓的实际无穷大与潜在无穷大相区分。这些将是你可以测量的局部的东西,例如固体的密度、光的亮度或一个物体的温度,在某个特定地方或时间变成无限。你将能在宇宙中局部地遇到这种无限。亚里士多德禁止实际无穷大:他认为它们是不可能存在的。这与他的本质上不可能有完美的真空的信念是一致的。如果可能的话,他相信人们能够推动一个物体并加快到无穷的速度,因为它不会遇到阻力。

几千年来,亚里士多德的哲学构成西方和基督教教义关于宇宙本质的基础。人们继续认为,实际的无穷不可能存在,如果存在的话,那么唯一实际无穷是神性。

数学的无穷

但在19世纪接近尾声时,数学家乔治·康托尔发展了一种更微妙的方式定义数学的无穷,它使数学世界开始发生变化。康托尔认识到,有一个最小类型的无穷大:永无休止的自然数列1、2、3、4、5...。他称这是一个可数无穷大。任何其他的无穷大,如果可以通过把其成员以一对一的方式对应到所有自然数,也被称为可数无穷大。

这个想法有一些有趣的后果。例如,所有的偶数全体也是一个可数无穷大。直觉上,你可能会认为偶数只有自然数的一半多,因为对有限个数的列举这是对的。但是,当列举变得无止境后,这不再为真。你可以给出一个从1到2、从2到4、从3到6等等直到最后的两个列举之间的一一对应。每个偶数将对应到自然数列中的一个唯一的相关数,所以这两个数集有同样多的数。伽利略首先发现了这个事实(尽管他数的是平方数1、4、9、16,等等,而不是偶数),因为感到太奇怪了,导致他不再进一步思考任何无限集合。他认为,这件事有一些危险的自相矛盾之处。然而,对于康托尔而言,能够在数集和其子集之间建立一个一一对应的关系,是一个无限集合的标志性特征。

同样,所有有理数的全体,也就是所有的分数,是可数无穷大。系统列举这些数的方法是把分数的分子和分母加起来,然后先写下所有分子分母和为2的分数(只有一个,1/1),然后所有加起来为3的分数(1/2和2/1),依此类推。每次你只计数有限多个的分数(p+q=n的分数p/q个数是n-1)。这是计数所有有理数的一个可靠配方:你不会错过任何数。这表明,有理数是可数的,即使在直观感觉上,分数似乎比自然数多得多。

康托尔接着证明,还有其它类型的无穷大,并在某种意义上比可数无穷大要大得多,因为它们不能以可数无穷的方式来计数。这样一个无穷大的特征由所有实数的全体体现。像实数一样,这些都不可能被计数,没有系统地列出它们的方案。这种不可数无穷大也被称为连续统。

但是找到这个无限大的实数集并不是故事的结束。康托尔证明,你仍然可以找到越来越无限大的集合,一路向上直到永远,没有最大可能的无限集合。如果有人给你一个无穷集合A,您可以构建一个更大的集合,不与A一一对应,该集合就是A的所有可能的子集全体。这永无止境的无穷之塔通向一个称为绝对无穷大的东西---无穷塔最末的那个遥不可及的顶峰。

在数学上,康托尔把无穷处理为实际的东西,而不是潜在的。你可以将它们相加,比如一个可数无穷大加上另一个可数无穷大结果也是可数无穷大。关于是否应该允许这样做在数学上可以大做文章。有些数学家认为,如果允许康托尔的超限量(它们被如此称作)进入数学,你可能在一些地方引进某种类型的细微矛盾。如果你将矛盾引入一个逻辑系统,那么最终你将能证明什么都是真的,那则会带来整个数学系统的崩溃。

这种担心导致有限主义或构造主义数学的诞生,它只允许数学对象通过有限次的逻辑论证步骤来构造。这样的数学就变成了有点像电脑那样做事,可以设置某些公理,仅仅通过有限步的逻辑步骤推导出的东西才被认为是真的。这意味着你不能把反证法(或排中律)作为证明的公理,反证法先假如结果不成立,然后推导出矛盾,这样原命题的结果必定成立。这个构造主义观点的19世纪支持者是荷兰数学家L.E.J.布劳威尔和德国数学家L. 克罗内克,外尔在20世纪对此也感兴趣了一段时间。有一些数学家们由于哲学和其他原因以这种方式定义数学,还有一些只是感兴趣于在这个限制的情形下到底可以证明些什么。

但一般而言,康托尔的想法已被接受,今天它们形成纯数学的一个分支。这导致一些哲学家,甚至一些神学家,重新考虑他们关于无穷的古老态度。因为有许多种类的无穷大,很清楚你不必把数学无穷的出现看成是对中世纪的神学家认为的神性的某种挑战。康托尔的想法实际上最先受到当代神学家的热情追捧,而不是数学家。

科学家们也开始区分数学的无穷和物理的无穷。在数学上,如果你说某物“存在”,你的意思是,对于给定的一组特定规则,它并没有引入逻辑上的矛盾。不过,这并不意味着它可以坐在你的办公桌上,或在某个实处运行。独角兽不是逻辑上不可能的,但是,这并不意味着从生物的意义上它存在。当数学家证明了非欧几何存在时,他们只是发现了存在一个公理系统,允许他们不会走向自相矛盾。

物理的无穷

所以,现代物理学中的无穷大已成为与数学上的无穷大互相独立。物理中无穷大有常见的一个领域是空气动力学或流体力学。例如,空气动力学中的波可能会变得非常陡峭及非线性,然后形成激波。在描述激波形成的方程中,一些量可能会变得无限大。但是,当这一切发生的时候,人们可能会认为它只是一个失败的模型。原因可能是忽略了摩擦或粘度,一旦把它们包含在方程中,速度梯度就会变成有限,尽管它可能仍然是非常陡峭的,但在现实中粘度确实可以小到几乎为0。在大多数的科学领域,如果看到一个无穷大,人们通常会想当然地认为是由于模型不准确或不完整所致。

粒子物理中一直有一个更长时间未决及更微妙的问题。量子电动力学在整个科学中是最好的理论,关于宇宙它比我们知道的其他东西都有更准确的预测。然而,这些预测的获得也伴随了一个尴尬的问题:当做数值计算来验证实验观察的时候,人们似乎总是得到一个添加了额外有限位的无穷答案。如果减去无穷大,留下来的有限部分就是人们希望在实验室中看到的预测,并总是极其精确地匹配实验。除去无穷大的这个过程被称为重整化。许多著名的物理学家们发现它极不令人满意。他们认为这可能只是一个理论的可以改善的症状。

同样的道理可以解释为什么弦理论在20世纪80年代创造了巨大的兴奋,导致大量的物理学家可以开始研究这一理论。这是粒子物理学家第一次发现了一个有限的理论,这些无穷大在该理论中没有出现。粒子物理的基本出发点是取代传统的观念:最基本的实体(例如光子或电子)应该是点状物体,通过空间和时间移动,所以在时空中被描绘。相反,弦理论认为最基本的实体是线或小圈,它们在移动时描绘出管道。当你有两个点状的粒子通过空间互动,就好像两条线相互打击,在相遇处形成一个尖角。图片中的尖角是所描绘的无穷之源。但是,如果你有两个小圈撞在了一起,这有点像一对裤子中的两条腿;然后又有来自另外两个小圈的相互作用,这像将另一对裤子缝到第一对上。你得到的是一个平稳过渡。这也是为什么弦理论如此吸引人的原因,它是粒子物理的第一个有限理论。

宇宙的无穷

另一种类型的无穷出现在引力理论和宇宙学。爱因斯坦的广义相对论表明,膨胀的宇宙(如我们所观察到的)在有限的过去开始之时,其密度是无限的,这就是我们所说的宇宙大爆炸。爱因斯坦的理论还预测,如果一个人掉进一个黑洞(在我们的银河系和附近有很多黑洞),他将在里面遇到一个无穷大的密度。这些无穷大,如果它们确实存在,将是实际无穷大。

人们对这些无穷大的态度是不同的。来自粒子物理并对弦理论关于宇宙起源有兴趣的宇宙学家会倾向于认为,这些无穷大都不是真正的,它们只是我们的理论不完善的附产品。还有其他人,彭罗斯(Roger Penrose)是其中之一,他们认为宇宙起源的无穷大在物理结构中起着非常重要的作用。但是,即使这些无穷大不是真正的无穷大,但密度仍然令人惊奇的高:比水的密度大10的96次方倍。在实际应用中,如此高的密度,以至于我们需要一个量子理论来描述空间、时间和引力特征的影响,了解在那里发生的事情。

如果认为我们的宇宙最终会停止膨胀并收缩到另一个无穷大,很奇怪的事情也许会发生,这就是一个大紧缩。大紧缩可能是不同步的,因为宇宙有星系,其密度比其他地方大。高密度区域在低密度地区前进入未来的无限大。如果我们处于宇宙中某个小地方,它大大推迟未来无穷大的到来,或甚至不会到来,那么我们可以回头看发生在其他地方的宇宙终止,这样我们就会看到一些无限。你也许会看到空间和时间即将在某个地方结束的证据。

但是你很难精确预测当实际无穷大在某处出现时你将看到什么。在我们的宇宙于瞬间形成的过程中,有一个令人纳闷的防御机制。对这些的一个简单解释是:在每个黑洞的中心有无穷大的密度出现,恰似宇宙终端的无穷大。但是黑洞围绕这个现象产生一个景象:甚至光也不能在它附近逃逸。因此我们孤立了,看不到在那些其密度看上去好像要趋向无穷大的地方究竟发生了什么。反过来,无穷大也不能影响我们。这些景象使我们免于那些密度无穷大的地方产生的后果,它们也阻止我们看到发生的现象,除非我们位于黑洞之内。

另一个问题是我们的宇宙在空间上是有限还是无限。我认为我们永远不知道。它或许是有穷大的,但其尺寸任意大。但对许多人而言,有限大宇宙的想法立刻带来宇宙之外是什么的问题。没有“之外”---宇宙就是存在之万物之集。要理解这点,让我们想想二维宇宙,因为它们更容易想象。如果捡一张A4尺寸的纸,我们知道它有边缘,故有限的宇宙怎么会没有边缘呢?但关键之处是这张纸是平整的。如果我们想想二维的弯曲表面,像球的表面那样,则球面的面积是有限的:你仅仅需要有限量的颜料将它上色。但如果你在它上面走动,与在纸上走不一样,你永远到不了边缘。因此,弯曲的空间可以是有限的,但没有边界或边缘。

要理解一个膨胀的二维宇宙,让我们首先想想一个无穷情形,其中平均而言无论走向何处,宇宙看上去都是一样的。那么无论你站在何处并向周围张望,看上去宇宙以你为中心向外膨胀,因为每一处都像是中心。对于有限的球面宇宙,把它想象成一只气球,并在表面上标上了星系。当你开始对气球充气时,星系开始彼此相向而退。无论你站在气球表面何处,你可看到当橡皮膨胀时,其他星系离你膨胀而去。膨胀中心不在曲面上,它处于另一维,在这个情形是第三维。因此我们的三维宇宙,假如它是有限的并正向弯曲,则其行为好像是一个想象的四维球体的三维表面。

爱因斯坦告诉我们,空间的几何由它当中的物质的密度确定。这颇有点像橡胶蹦床:如果你把物质放在蹦床上,这使得曲率改变。如果空间有大量的物质,它会导致一个巨大的角距降低,使得空间合拢。因此,一个高密度的宇宙需要一个球形的几何形状和一个有限的体积。但是,如果你有相对较少的物质变形空间,你则得到一个负曲率的空间,形状像一个马鞍或炸薯片。这样的负曲率空间可以继续被拉伸和膨胀下去。一个低密度宇宙,如果它有一个简单的几何形状,将有无限的尺寸和体积。但是,如果它有一个更奇特的拓扑结构,像一个圆环面这样的,也可以有一个有限的体积。关于爱因斯坦的方程的奥秘之一是,它们会告诉你如何从物质分布推导出几何形状,但他的方程关于宇宙的拓扑结构却没说什么。也许更深入的量子引力理论可以对此说些什么。

以上文章观点仅代表文章作者,仅供参考,以抛砖引玉!

未来智能实验室的主要工作包括:建立AI智能系统智商评测体系,开展世界人工智能智商评测;开展互联网(城市)云脑研究计划,构建互联网(城市)云脑技术和企业图谱,为提升企业,行业与城市的智能水平服务。

  如果您对实验室的研究感兴趣,欢迎加入未来智能实验室线上平台。扫描以下二维码或点击本文左下角“阅读原文”

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处:http://www.mzph.cn/news/487621.shtml

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请联系多彩编程网进行投诉反馈email:809451989@qq.com,一经查实,立即删除!

相关文章

机器学习虽好,也要看什么场合!

来源:AI科技评论编译 | 王念编辑 | 丛末身为AI时代的程序猿,我们天生就对数据集敏感。因此,当我们拿到一批真实数据时,激动之情肯定溢于言表!举例来说,我们可能拿到了一组患者正确药量的数据集,…

CVTE前端笔试编程题

这些题目是做完笔试之后,在别的地方找到的,现在附上。 1.(1)这题考察的怎么把参数转换为数组,然后再截取你想要的位数。 function C(){var a_argsArray.prototype.slice.call(argumens,0,2);var b_argsArray.prototype.slice.call(arguments,…

springboot 引入jdbc驱动_SpringBoot+MyBatis+Druid整合demo

最近自己写了一个SpringBootMybatis&#xff08;generator&#xff09;druid的demo1. mybatisgenerator逆向工程生成代码1. pom文件pom文件添加如下内容&#xff0c;引入generator插件<!-- mybatis代码生成插件 --><!--如果使用的mysql驱动是6.x的&#xff0c;那就无法…

盘点|世界流行的十大机械工程设计软件,你会用几种?

来源&#xff1a;自机械前线机械设计是机械生产的第一步&#xff0c;是决定机械性能的最主要的因素。为了满足机械产品性能的高要求&#xff0c;在机械设计中大量采用计算机技术进行辅助设计和系统分析&#xff0c;以下是目前世界上流行的十款式机械工程设计软件。1、Autodesk …

SpaceX再发射58颗星链卫星 总数达到538颗

来源&#xff1a;网易智能据外媒报道&#xff0c;在距离上次星链&#xff08;Starlink&#xff09;卫星发射仅仅10天后&#xff0c;美国太空探索技术公司SpaceX于当地时间周六再次发射了最新一批星链卫星。与以往每批发射60颗星链卫星不同的是&#xff0c;SpaceX此次只发射了58…

MVC系列——MVC源码学习:打造自己的MVC框架(一:核心原理)(转)

阅读目录 一、MVC原理解析 1、MVC原理二、HttpHandler 1、HttpHandler、IHttpHandler、MvcHandler的说明2、IHttpHandler解析3、MvcHandler解析三、HttpModule 1、HttpModule能干什么2、HttpModule的使用3、HttpModule和HttpHandler如何区分4、UrlRoutingModule解析 四、总结正…

python中的画布背景设置_教你用python画图—Turtle详细教程

Turtle模块绝对是吸引非专业代码开发者人员学习python入门的好工具通过turtle几行代码的执行软件就会画出漂亮的图形&#xff0c;美观而且有成就感&#xff0c;这样一下子对python编程就产生了兴趣。这些漂亮的图形如三角形、五角星、机器猫等。在写代码的时候改变几个参数&…

城市大脑,是工程问题,但首先是基础科学问题

2020年&#xff0c;在5G&#xff0c;大数据&#xff0c;人工智能、区块链、新基建等一轮轮科技浪潮下&#xff0c;城市大脑开始逐步成为新的城市建设和前沿科技热点。到2020年6月已经有近500多个城市宣布建设“城市大脑”&#xff0c;包括阿里&#xff0c;华为&#xff0c;百度…

JOptionPane弹框常用实例

最近在做swing程序中遇到使用消息提示框的&#xff0c;JOptionPane类其中封装了很多的方法。 很方便的&#xff0c;于是就简单的整理了一下。 1.1 showMessageDialog 显示一个带有OK 按钮的模态对话框。 下面是几个使用showMessageDialog 的例子&#xff1a; Java代码 JOption…

从5G到6G的思考:需求、挑战、技术趋势

来源&#xff1a;5G作者&#xff1a;易芝玲&#xff1a;中国移动首席科学家。王森&#xff0c;韩双锋&#xff0c;崔春风&#xff1a;中国移动通信研究院。王亚峰&#xff1a;北京邮电大学信息与通信工程学院。未来智能实验室的主要工作包括&#xff1a;建立AI智能系统智商评测…

VS2017C++单元测试

0、欢迎食用 希望对点进来的你有所帮助。全文记流水账&#xff0c;内心想法如示例项目名称。1、建立需测试的项目 新建项目正常书写.h 和.cpp文件2、新建单元测试 右击解决方案 -> 添加 -> 新建项目 Visual C -> 测试 -> 本机单元测试项目点击确定出现3、添加被测项…

ncf 推荐系统_浅析神经协同过滤NCF在推荐系统的应用

NCF在推荐领域应用背景CF&#xff0c;也就是协同过滤&#xff0c;在推荐领域有极其广泛的应用&#xff0c;应该没有谁的智能推荐系统是没用到过CF的。CF其实就是挖掘user和item的交互关系&#xff0c;然后生成I2I或者U2I表示向量。传统的CF从数学角度上还是偏行为统计计算的&am…

2020身高体重标准表儿童_2020年儿童标准体重表出炉!过胖影响发育!(附身高体重标准表)...

近年来&#xff0c;孩子们长胖的趋势越来越明显&#xff0c;一些疾病也有年轻化的趋势。很多家长们平时也很注意饮食搭配和运动&#xff0c;但孩子还是一不小心就“超重”了&#xff0c;真的防不胜防。相信和我一样担忧孩子家长肯定不少。今天就来和大家讲讲&#xff0c;关于孩…

游戏的未来是什么?

“我们还没有真正跨过VR 1.0&#xff0c;无绳VR要么不可靠要么非常贵。我们正在朝VR 2.0发展&#xff0c;用的是眼球追踪&#xff0c;有更大的视野、更高的分辨率、更好的音频和六个自由度&#xff0c;但这些领域仍需要进一步研究。”来源丨Forbes作者丨Matt Gardner编译丨科技…

AI仿生:人类进化新可能

来源&#xff1a; 脑极体看过《银翼杀手》这部开创赛博朋克风格科幻电影的人&#xff0c;一定会对电影中仿生人罗伊贝蒂印象深刻&#xff0c;尤其是电影结尾时反派男主在滂沱大雨中的临终独白&#xff1a;我目睹过你们绝对不会相信的东西&#xff1a;战舰在猎户星座的边缘燃烧&…

python 获取 字典中的指定键_python中字典方法的详细教程

上篇文章讲到了python字典的基础知识&#xff0c;今天继续python中哈希(字典的应用)方法的应用。前章回顾&#xff1a;python字典的应用及案例分析字典方法&#xff1a;dict.clear() 删出字典内所有的元素。dict.copy() 返回字典的一个浅复制。dict.fromkeys(seq[,val]):创建一…

事务基本信息

一、事务的定义 事务&#xff08;Transaction&#xff09;是由一系列对系统数据进行访问与更新的操作所组成的一个程序执行逻辑单元&#xff08;Unit&#xff09;&#xff0c;侠义上的事务特质数据库事务。1&#xff09;当多个应用程序并发访问数据库时&#xff0c;事务可以在这…

android 人脸识别_小模型,高精度!小视科技推出极致轻量型人脸识别SDK

AI 落地为王时代的到来&#xff0c;使得人脸识别的精度和速度备受人们关注。近年来&#xff0c;随着模型压缩、量化技术的进步&#xff0c;模型运行速度也越来越快。对于一些特定的人脸检测任务&#xff0c;轻量型的人脸识别SDK即可满足需求。▲图源网络轻量级架构的显著特征便…

机器视觉基础知识详解

来源&#xff1a;工业机器人随着工业4.0时代的到来&#xff0c;机器视觉在智能制造业领域的作用越来越重要&#xff0c;为了能让更多用户获取机器视觉的相关基础知识&#xff0c;包括机器视觉技术是如何工作的、它为什么是实现流程自动化和质量改进的正确选择等。小编为你准备了…

截屏没有了_华为手机居然有6种截屏花招,很多人不知道,你会用哪几种?

华为手机越来越受国民的欢迎&#xff0c;而且华为手机的功能挺多挺实用的。就比如&#xff1a;支持画“一”进行分屏操作&#xff0c;可以让我们一边追剧一边聊天&#xff0c;真的特别方便。我使用华为手机也已经有三个年头了&#xff0c;在日常生活中看到一些有用的内容&#…