算法通关村十一关 | 位运算实现加法和乘法

1.位实现加法和乘法

在计算机中,位运算的效率要比加减乘除的效率更高,因此在高性能软件中源码中大量使用,计算机里各种运算基本上都是位运算。

学习下面内容之前建议先学习位运算规则:算法通关村十一关 | 位运算的规则_我爱学算法的博客-CSDN博客

1.1 位运算实现加法

题目:LeetCode371

给你两个整数a和b,不使用运算符 + 和 -,计算并返回两整数之和。

示例1:

输入: a =1,b = 2

输出:3

我们先看两个二进制位相加的情况:

  • 0 + 0 = 0

  • 0 + 1 = 1

  • 1 + 0 = 1

  • 1 + 1 = 0(发生进位,应该是10)

相加的时候我们需要考虑两个问题:进位部分是什么,不进位部分是什么,从上面的情况可以看到,对于a和b两个数不进位部分的情况是:相同为0,不同为1,就是a⊕b。

对于进位部分,只有a和b都是1的时候才会进位,而且进位只能是1,这不就是a&b=1吗?然后位数由一位变成两位,只需将1手动移位一下就好,也就是(a & b)<< 1。

结论:

  • 不进位部分:用a⊕b计算

  • 是否进位,以及进位的值使用(a & b)<< 1计算,只有结果为1的时候才会出现进位

  • 异或不用考虑是否进位

我们可以将整数a和b的和,拆分成a和b的无进位加法结果与进位结果的和,

    //位运算加法public int getNum(int a, int b){while (b != 0){int sign = (a & b) << 1;a = a ^ b;b = sign;}return a;}

注意:需要思考的是,a异或于移位之后的(a & b)的情况 ,第一次并没有考虑进位,第二次才进行进位,

2.2 递归乘法

题目:LeetCode里面面试08.05

递归乘法,写一个递归函数,不使用* 运算符,实现两个整数相乘。可以使用加号、减号、位移,但要吝啬一些

示例1:

输入:A = 1,B = 10

输出:10

如果使用累加来计算,效率太低,还是要用移位运算。

首先,求得A和B的最大值和最小值,对其中的最小值当作乘数(为什么选最小值当乘数,因为可以计算的更少),将其拆分成2的幂的和,比如12用二进制表示:1100,即1000 + 0100。0 * 2^0 + 0 * 2^1 + 0 * 2^2 + 1 * 2^3,和0 * 2^0 + 0 * 2^1 + 1 * 2^2 + 0 * 2^3的和。

13 * 12 = 13 * ( 8 + 4) = 13 * 8 + 13 * 4 = (13 << 3) + (13 << 2);

代码实现:

    //位运算乘法public int multiply2(int a ,int b){int min = Math.min(a,b);int max = Math.max(a,b);int ans = 0;for (int i = 0; min != 0 ; i++) {//位为1的时候累加if ((min & 1) == 1){ans += max << i;}min >>= 1;}return ans;}

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