问题描述

编写一个在1，2，…，9（顺序不能变）数字之间插入+或-或什么都不插入，使得计算结果总是100的程序，并输出所有的可能性。例如：1 + 2 + 34 – 5 + 67 – 8 + 9 = 100。

问题分析

这时我最近偶然看到的一道题目，发现实现起来还确实有些麻烦，所以把实现的过程记录下来。
这种要罗列出所有结果的问题，我一般是采用回溯法解决的，说的通俗一点就是暴力解法，去遍历所有的情况。
这个问题有一点比较难处理的地方就在于有这个“什么都不插入”这个选项，所以干脆单独拎出来解决。也就是先把1-9这9个数组相互组合，形成一个数组，比如：

{1,2,3,4,5,6,7,8,9}
{1,2,3,4,5,6,7,89}
{1,2,3,4,5,6,78,9}
{1,2,3,4,5,6,789}
...

在分组的过程当中，由于问题的特殊性（要求结果为100），我们会发现像

{123456,789}

这样位数特别大的是不可能得到100这样的结果的，一个最小的6位数和一个最大的3位数的差都有

$100000 - 999 = 99001$
所以本问题中不用考虑把1-9划分成6位数及以上的情况。
将1-9划分好之后，接下来要做的就是把”+”和”-“填到划分的数字之间了，比如

划分成{1,2,3,4,5,6,7,8,9}时有：
1+2+3+4+5+6+7+8+9
1+2+3+4+5+6+7+8-9
1+2+3+4+5+6+7-8+9
...
划分成{1,2,3,4,5,6,7,89}时有：
1+2+3+4+5+6+7+89
1+2+3+4+5+6+7-89
...
其他情况就不列举了，相信应该看明白了

基于这样的思路，用C++对该想法进行了实现。

代码展示

下面程序可以将结果100改成其他的整数，都是适用的。

#include <iostream>
#include <math.h>
#include <vector>
#include <string>using namespace std;class Solution{
private:vector<string> res;vector<int> nums;vector<int> eles;private:void _compute(vector<int> vec, int index, int target, string &s){if (index == vec.size()){if (0 == target)res.push_back(s + "=100");return;}//分“+”和“-”两种情况讨论for (int i = 0; i < 2; i++){if (i == 0){string tempStr = s + "+" + to_string(vec[index]);_compute(vec, index + 1, target - vec[index], tempStr);}else if (i == 1){string tempStr = s + "-" + to_string(vec[index]);_compute(vec, index + 1, target + vec[index], tempStr);}}return;}//用来得到1-9的不同整数组合，比如{123, 456, 789}，本质是将“”这个空符号加入到数之间void _recursion(int index, int target){if (index == 9){string s = to_string(eles[0]);_compute(eles, 1, target - eles[0], s);return;}//为了问题的泛化采用i <= 9，如果针对结果为100的可以改成i <= 5for (int i = 1; i <= 9; i++){if (index + i > 9)break;int temp = 0;//求得分解出来的每个元素的值for (int j = 0; j < i; j++){temp += nums[index + j] * pow(10, i - j - 1);}eles.push_back(temp);_recursion(index + i, target);eles.pop_back();}return;}public:Solution(){nums = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 };}vector<string> recursion(int index, int target){_recursion(index, target);return res;}
};int main()
{Solution s;vector<string> res = s.recursion(0, 100);cout << "共有" << res.size() << "种情况" << endl;for (string s : res){cout << s << endl;}return 0;
}