算法熟记-排序系列-堆排序

1. 简述

    假设待排序数组为 int array[], 数组长度为n。
    主要是利用堆的性质。对于升序排序，使用最大堆。
    首先，建堆，使用递归后根序遍历得方法，通过交换元素，保证根元素比孩子元素大。
    第1趟，堆顶元素array[0]与array[n-1]交换，保证array[n-1]的数值正确，根据array[0]新的数值更新堆。
    第2趟，堆顶元素array[0]与array[n-2]交换，保证array[n-2]的数值正确，根据array[0]新的数值更新堆。
    ···

    第n-1趟，堆顶元素array[0]与array[1]交换，保证array[1]的数值正确，根据array[0]新的数值更新堆。

2. 复杂度

    平均时间复杂度为O(N*logN)，空间复杂度为O(1)。

3. 代码   

void make_heap(int array[], int n, int node) { // 自底向上，构建堆
  int left = 2 * node + 1;
  int right = 2 * node + 2;
  if(left > n-1) return;
  else if(right > n-1) { // 堆是完全的二叉树，所以此时不需要递归
    if(array[node] < array[left]) {
      swap(array[node], array[left]);
    }
  }
  else {
    make_heap(array, n, left);
    make_heap(array, n, right);
    if(array[node] < array[left] && array[right] <= array[left]) {
      swap(array[node], array[left]);
    }
    else if(array[node] < array[right] && array[left] <= array[right]) {
      swap(array[node], array[right]);
    }
  }
}
void update_heap(int array[], int n, int node) { // 自顶向下，更新堆
  int left = 2 * n + 1;
  int right = 2 * n + 2;
  if(left > n-1) return;
  else if(right > n-1) {
    if(array[node] < array[left]) 
      swap(array[node], array[left]);
  }
  else {
    if(array[node] < array[left] && array[right] <= array[left]) {
      swap(array[node], array[left]);
      update_heap(array, n, left);
    }
    else if(array[node] < array[right] && array[left] <= array[right]) {
      swap(array[node], array[right]);
      update_heap(array, n, right);
    }
  }
}
void heap_sort(int array[], int n) {
  make_heap(array, n, 0);
  for(int i=n; i>=1; i--) {
    swap(array[i], array[0]);
    update_heap(array, n, node);
  } 
}

    实际上，堆的构建和更新都可以使用非递归的方式实现，对于堆的构建，需要首先找到最后一个有孩子的节点array[k]，然后从array[k]一直更新到array[0]即可，其中的k=n/2。k的求法如下：假设k存在，2*k+1=n或者2*k+2=n，对于第一种情况，k==n/2，对于第二种情况，k==n/2-1。对于堆的更新，就更简单了，只要从array[0]开始，选择一条通路，一直向下更新，直到没有孩子了为止。
   值得注意的是，对于下标从0开始的数组，k号节点的孩子节点分别是2*k+1和2*k+2。 而对于下标从1开始得数组，k号节点的孩子节点分别是2*k和2*k+1。
    堆排序属于选择排序，实际上就是利用最大堆这个数据结构，每次选择一个剩余元素中最大的元素，交换到合适的位置上去。

4. 参考资料

    维基百科-堆排序    http://en.wikipedia.org/wiki/Heapsort