平衡二叉树是一种二叉排序树，其中每一个节点的左子树和右子树的高度至多等于1，平衡二叉树又称为AVL树。
将二叉树节点的左子树深度减去右子树深度的值称为平衡因子BF，平衡二叉树上所有节点的平衡因子只可能是-1,0或者1。
距离插入点最近的，且平衡因子的绝对值大于1的结点为根的子树，我们称为最小不平衡子树。
平衡二叉树实现原理
先来看一个例子：
对于数组a[10]={3,2,1,4,5,6,7,10,9,8}构建平衡二叉树。
按照二叉排序树的方式插入新的元素，当插入1的时候，使得当前二叉树失去平衡：
当插入5的时候，使得平衡二叉树再次失去平衡：
插入6的时候，同样产生不平衡：
注意：上面的这些不平衡都有一个共同的特点，那就是最小不平衡子树的根的BF同它的孩子（左孩子或者右孩子）的BF是同号的。所以这是仅需要一次旋转就可以了。
当插入到数字9的时候，同样的发生了不平衡：
从上面的图可以看到一次的旋转是不能做到再次的平衡的。所以要两次旋转。
在插入8的时候，同样的发生了不平衡，同样的需要两次调整：
所以总结上面的过程：
当最小不平衡子树根节点的平衡因子BF是大于1的时候，就右旋，小于-1时就左旋。
插入节点后，最小不平衡子树的BF与它的子树的BF符号相反时，就需要对子树节点先进行一次旋转，以使得符号相同后，在反向旋转一次才能够完成平衡操作。
平衡二叉树算法实现
加入了平衡因子，所以在每一个结点中增加一个数据域，这个数据域表示以这个结点为根的二叉树的平衡因子。所以树结点的定义为：
typedef struct BiTNode
{int data;int bf;struct BiTNode *lchild, *rchild;
}BiTNode, *BiTree;
其实对于二叉平衡树的每一次的调整都可以分成两个步骤：
- 调整各个结点的BF值
- 旋转子树结构
先写旋转子树结构代码：
void R_Rotate(BiTree *T)
{BiTree tmp;tmp = (*T)->lchild;(*T)->lchild = tmp->rchild;tmp->rchild = (*T);*T = tmp;
}void L_Rotate(BiTree *T)
{BiTree tmp;tmp = (*T)->rchild;(*T)->rchild = tmp->lchild;tmp->lchild = (*T);*T = tmp;
}
所以当插入一个新的结点，导致树结构不平衡的时候，当树右边超重的时候，要右平衡：（树主体左旋转）
//右平衡，右子树超重
void RightBalance(BiTree *T)
{BiTree tmp, tmpr;tmp = (*T)->rchild;switch (tmp->bf){case -1:(*T)->bf = 0;tmp->bf = 0;L_Rotate(T);break;case 1:tmpr = tmp->lchild;switch (tmpr->bf){case 1:tmp->bf = -1;(*T)->bf = 0;break;case -1:tmp->bf = 0;(*T)->bf = 1;break;case 0:tmp->bf = (*T)->bf = 0;}tmpr->bf = 0;//R_Rotate(&tmp);是错误的，因为不能修改上一级的指针R_Rotate(&(*T)->rchild);L_Rotate(T);}
}当插入一个结点导致树结构不平衡的时候，左子树超重，要左平衡：（树主体右旋转）
//左平衡，左子树超重
void LeftBlance(BiTree *T)
{BiTree tmp,tmpr;tmp = (*T)->lchild;switch (tmp->bf){case 1:(*T)->bf = 0;tmp->bf = 0;R_Rotate(T);break;case -1:tmpr = tmp->rchild;switch (tmpr->bf){case 1:tmp->bf = 0;(*T)->bf = -1;break;case -1:tmp->bf = 1;(*T)->bf = 0;break;case 0:(*T)->bf = 0;tmp->bf = 0;break;}//switchtmpr->bf = 0;//L_Rotate(&tmp);是错误的，因为不能修改上一级的指针L_Rotate(&(*T)->lchild);R_Rotate(T);}
}
注意：上面两处的双旋转的时候，不能旋转tmp，因为这样不能把父结点的指针修改，所以要旋转父结点指下来得指针。
最后插入操作的主函数：
bool InsertAVL(BiTree *T, int key, bool *taller)
{if (*T ==NULL){*T = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));(*T)->data = key;(*T)->lchild = (*T)->rchild = NULL;(*T)->bf = 0;*taller = true;return true;}if((*T)->data == key){*taller = false;return false;}else if((*T)->data > key){if(!InsertAVL(&(*T)->lchild, key, taller))return false;if(*taller){switch ((*T)->bf){case 1:LeftBlance(T);*taller = false;break;case 0:(*T)->bf = 1;*taller = true;break;case -1:(*T)->bf = 0;*taller = false;break;}//switch}//if}//else ifelse //(*T)->data < key{if (!InsertAVL(&(*T)->rchild, key, taller))return false;if(*taller){switch ((*T)->bf){case 1:(*T)->bf = 0;*taller = false;break;case 0:(*T)->bf = -1;*taller = true;break;case -1:RightBalance(T);*taller = false;}//switch}//if}//elsereturn true;
}
