排列与组合

     话说,初一的时候看到这样一道题:有一种彩票中奖率为1%,买一百张是不是一定能中奖?答案自然是否定的,但我在想,如果有200张彩票,两张有奖,买一百张中奖率是多少?一天晚上睡觉的时候真的忽然想出来了(那时还没有学排列组合,自己想出了组合公式),最后算出来大约是75%。(相信学过OI的同学就不用看本文了)
    先解决这个问题:两百张彩票,买一百张有多少种排列方式?当年我就是在脑海里构造了一个类搜索树的东西(好吧,二维的线性搜索树……),简单地说我们买第一张彩票的时候有200种方案可选,买第二张时由于之前被买走了一张,所以有199种方案……最后的总方案数为200X199X198……X101,也即为200!÷100!。这里说的是排列方式,那组合呢?可以发现,对于每一种组合方式,都有100!种组合方式,所以组合的总数为200!÷(100!X100!)。
    那这么多组合方式中,有多少种能中奖呢?事实上,算一下不能中奖的方式会更方便,除去两张有奖的,不能中奖的方案数为:198!÷(98!X100!)(不解释),再除一下,约去1/100!和198!÷100!,剩下(100X99)/(200X199)约为25%,中奖几率就是1-25%=75%。
    除了这里说到的排列和组合,还有一种圆周排列,以上面的数据为例,因为每一种排列被重复算了100次,所以就只要在排列的总数的基础上除以100就好了,也即200!÷(100!X100)。
    最后归纳一下,对于从n个数中选出m个数的排列方案数为:n!÷(n-m)!,组合数为:n!÷[(n-m)!*m!] ,圆周排列数为:n!÷[(n-m)!*m]。
    至于此类公式衍生出的题型和方法实在不胜枚举,这里就不详述了,其实也很简单:机智才是王道! 

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