几何分布的期望和方差公式推导_超几何分布的数学期望与方差推导

考虑

个外表相同的物品，其中有
个同类物品与另一类的
个物品；抽取
个物品，每个物品的抽取等概率随机。

上述便是一个超几何分布（Hypergeometric Distribution）的基本模型。

抽取

个
类物品的概率

在研究超几何分布的数学期望与方差前，我们先考虑抽取

个
类物品的概率
。

要抽取

个
类物品，那么剩下的
个物品都是
类物品；由于在
个物品中取
个物品有
种取法，在
个物品中取
个物品有
种取法，因此满足条件的取法有
种；而在总共
个物品中取
个物品有
种取法。故所求概率为
.

数学期望

根据数学期望的公式：

，我们可以对其进行一系列变换得到
. 过程如下：

注意到

则

由于

原式

由于

原式

因此，其数学期望为

，记作

方差

记方差为

，
，其中
为结果事件集合。在超几何分布中，
。过程如下：

方差有一个通用的变换技巧：令

，由于
，则

由于

，我们只需考虑
。

由于

，我们考虑

注意到

那么

继续化简，原式

由于

，

因此

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