想写一系列文章，总结一些题目，看看解决问题、优化方法的过程到底是什么样子的。

 

系列问题一：斐波那契数列问题

在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F(0)=0，F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）根据定义，前十项为1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55

问题一：

给定一个正整数n，求出斐波那契数列第n项（这时n较小）

解法一：最笨，效率最低，暴力递归，完全是抄定义。请看代码

def f0(n):if n==1 or n==2:return 1return f(n-1)+f(n-2)

 

分析一下，为什么说递归效率很低呢？咱们来试着运行一下就知道了：

 

比如想求f(10)，计算机里怎么运行的？

 

每次要计算的函数量都是指数型增长，时间复杂度O(2^(N/2))<=T(N)<=O(2^N),效率很低。效率低的原因是，进行了大量重复计算，比如图中的f(8),f(7).....等等，你会发现f(8)其实早就算过了，但是你后来又要算一遍。

如果我们把计算的结果全都保存下来，按照一定的顺序推出n项，就可以提升效率， 斐波那契（所有的一维）的顺序已经很明显了，就是依次往下求。。

优化1

def f1(n):if n==1 or n==2:return 1l=[0]*nl[0],l[1]=1,1for i in range(2,n):l[i]=l[i-1]+l[i-2]return l[-1]

 

时间复杂度o(n)，依次往下打表就行，空间o(n).

继续优化：既然只求第n项，而斐波那契又严格依赖前两项，那我们何必记录那么多值呢？记录前两项就行了

 

优化2

def f2(n):a,b=1,1for i in range(n-1):a,b=b,a+breturn a

此次优化做到了时间o(n),空间o(1)

附：这道题掌握到这里就可以了，但是其实有时间o(log2n)的方法

 

优化三：

学习过线性代数的同学们能够理解：

 

结合快速幂算法，我们可以在o(log2n)内求出某个对象的n次幂。(在其它专题详细讲解)

注意：只有递归式不变，才可以用矩阵+快速幂的方法。

注：优化三可能只有在面试上或竞赛中用，当然，快速幂还是要掌握的。

 

经过这个最简单的斐波那契，大家有没有一点感觉了？

好，我们继续往下走

(补充：pat、蓝桥杯原题，让求到一万多位，结果模一个数。

可以每个结果都对这个数取模，否则爆内存，另：对于有多组输入并且所求结果类似的题，可以先求出所有结果存起来，然后直接接受每一个元素，在表中查找相应答案)

 

问题二：

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

依旧是找递推关系，分析：跳一阶，就一种方法，跳两阶，它可以一次跳两个，也可以一个一个跳，所以有两种，三个及三个以上，假设为n阶，青蛙可以是跳一阶来到这里，或者跳两阶来到这里，只有这两种方法。它跳一阶来到这里，说明它上一次跳到n-1阶，同理，它也可以从n-2跳过来，f（n）为跳到n的方法数，所以，f(n)=f(n-1)+f(n-2)

和上题的优化二类似。

因为递推式没变过，所以可以用优化三

 

问题三：

我们可以用2*1的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用n个2*1的小矩形无重叠地覆盖一个2*n的大矩形，总共有多少种方法？提示，大矩形看做是长度吧

请读者自己先思考一下吧。。。仔细看题。。仔细思考

如果n是1，只有一种，竖着放呗；n是2，两种：

，

n等于3，三种：

 

题意应该理解了吧？

读到这里，你们应该能很快想到，依旧是斐波那契式递归啊。

对于n>=3:怎么能覆盖到三？只有两种办法，从n-1的地方竖着放了一块，或者从n-2的位置横着放了两块呗。

和问题二的代码都不用变。

 

问题四：

给定一个由0-9组成的字符串，1可以转化成A，2可以转化成B。依此类推。。25可以转化成Y，26可以转化成z，给一个字符串，返回能转化的字母串的有几种？

比如：123，可以转化成

1 2 3变成ABC，

12 3变成LC，

1 23变成AW，三种，返回三，

99999，就一种：iiiii，返回一。

分析：求i位置及之前字符能转化多少种。

两种转化方法，一，字符i自己转换成自己对应的字母，二，和前面那个数组成两位数，然后转换成对应的字母

假设遍历到i位置，判断i-1位置和i位置组成的两位数是否大于26，大于就没有第二种方法，f(i)=f(i-1),想反，等于f(i-1)+f(i-2)

注意：递归式不确定，不能用矩阵快速幂

 

(这几个题放到这里就是为了锻炼找递归关系的能力，不要只会那个烂大街的斐波那契)

 

'''
斐波那契问题：
斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：
F(1)=1
F(2)=1
F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）
'''
#暴力抄定义,过多重复计算
def f0(n):if n==1 or n==2:return 1return f(n-1)+f(n-2)
#记录结果后依次递推的优化，时间O(N)
def f1(n):if n==1 or n==2:return 1l=[0]*nl[0],l[1]=1,1for i in range(2,n):l[i]=l[i-1]+l[i-2]return l[-1]
#既然严格依赖前两项，不必记录每一个结果，优化空间到O(1)
def f2(n):a,b=1,1for i in range(n-1):a,b=b,a+breturn a