工程师学乐理（二）音阶及倾向性

前言

阅读本文前，请先阅读《写给理工科人看的乐理》。

本文主要讲音阶。在其他地方能查到的细节，我们这里就不会多说了。本文重点在于梳理音阶背后的逻辑，尝试把技术点串起来讲。
没有逻辑的东西是咱们工程师比较讨厌的，任何大自然的、美的东西，背后一定有其逻辑，掌握其逻辑以后再去学习，才能学得通透。

音阶

音阶就是音高，即某一频率的声音。频率是连续的，连续的东西不方便使用，需要离散化。频率离散化以后，就叫做音阶。

音阶具体怎么划分呢？肯定不能你这样划分，我那样划分，那样的话就乱七八糟了。

如IT行业一样，每个领域都有各种各样的标准，任何行业都必须遵循标准，没有标准就要制定标准。

国际上统一的音阶划分方法，叫国际标准音阶。大家都按照标准音阶进行创作，交流，这样可以极大促进音乐行业的发展。

标准音阶划分方法

下面简单描述一下国际标准音阶的划分过程：

从440Hz开始，到它的二倍880Hz为止，中间按照等比数列的方式分成12份，计算可知，公比为2^(1/12)=1.06。现在，加上头尾两个音，一共有13个音。
13个音太多了，接下来将13个音，变成8个音。8个音要分成7分，如果直接把原本的12份分成7份，那肯定是不能平均分的，可以先拿出来10份平均分成5份，剩下2份直接构成2份。
给分出来的8个音分别取个名字，用字母表示，即：A B C D E F G A，这就是音名。音名只是音阶的代号，便于记录、沟通和交流。
两个音的位置相减加1就是音程，音程的单位是度，例如，C - A = 3 - 1 + 1= 3度，最好是写成大写的，因为防止和数字标记的这8个音混淆了，数字标记下面或说到。正因为计算音程时加1了，所以音程并不是我们想的，两个音之间的距离，而是两个音之间，包括两个音在内的，音的个数。
这8个音，还可以用数字标记为6 7 1 2 3 4 5 6。

音阶划分过程中有一些问题，需要我们去思考。

音阶FAQ

一、为什么钢琴上每个区是从C开始的，为什么不从A开始？

按照我们上面的划分，音名应该是从A开始讲的。那么为什么平时大家都从C开始讲，而且钢琴上也是每个区从C开始呢？

这个问题网上已有讨论，可以先看看这个：为什么音名是从 C 开始，而不是 A？

大意是，由于大调很常用，C又是大调的开始和结束，所以C很常用，就把它放在了第一的位置。这么解释，咱就是用未知解释未知了。所以，换种说法就一句话，就是C太常用了，所以被放在了第一的位置。当我们讲音阶时，基本上就从C开始讲起。do、re、mi、fa、sol、la、si，其中do都指C。

二、数字标记 6 7 1 2 3 4 5 6中，为什么A是6，C是1？A为什么不是1？

由问题一我们知道，一般我们说音阶，都是从C开始说起。但是从C开始，C D E F G A B，从G跳到A这不是让人很难受吗？确实难受。

为了解决这个问题，让音阶看着更舒服，更容易使用和记忆，我们把最常用的那个，也就是C，令它为1。如此一来，do、re、mi、fa、sol、la、si = 1、2、3、4、5、6、7，再也不用从C开始了，再也不会那么难受了。个人比较推荐这种音阶记法。你只需要知道，1对应C，其他都按照自然顺序来就可以了，简单易用。

三、音阶的字母和数字以及读音怎么才能记住呢？
我们可以利用上面说的字母和数字标记方法来记忆。
即：

do、re、mi、fa、sol、la、si = 1、2、3、4、5、6、7。
1 = C

当然数字映射到字母有一定的难度，可以连记：

1C 2D 3E 4F 5G 6A 7B

某些可以联想记忆：如2D电影的2D，3亿的3E，F4，5G手机的5G。

倾向性

前面我们研究的是一个个独立的音阶个体，现在我们就要研究音阶个体之间的关系。

单个音是没有感情的，是没有优劣之分的。不信的话，你可以自己弹奏试一下，音和音之间要完全分开弹奏。

但是，音和音连在一起，或者同时刻叠加在一起，就会表达出情感，时而忧伤，时而快乐，时而恢弘，时而疯狂。你可以连续弹奏几个音，感受一下，这时情感就会不知不觉地从音乐中迸发出来，这是为什么？答案是倾向性。

倾向性，就是和谐性。它是描述音阶与音阶之间的关系的属性，它衡量了一个音向另一个音的倾向程度、和谐程度。倾向性是音与音之间最重要的联系，只有了解了倾向性，你才能写出“不难听”的音乐。

接下来我们就会讲解蕴含在倾向性中的数理逻辑，明白了其中的逻辑之后，大家可以去聆听、验证。大部分同学应该和我一样手头是没有钢琴的，我们可以去下载一个钢琴软件来用，不求好坏，对于初学者来说，能用就行。

好了，下面开始说倾向性的数学逻辑和量化方法。下面大部分内容是受到《写给理工科人看的乐理》启发的。

倾向性的数理逻辑

我们知道两个频率的正弦波叠加，可能是周期的，也可能是非周期的。

这部分内容呢，在《信号与系统》这门课中有讲解。可以参考：信号与系统（考研专用）一（2）你真的会求信号的周期吗？。只要大致了解就行了，不需要去做题计算哈。

抛弃数学符号来说，用直观的方式来理解。下面是大桥受风吹拂摆动的场景。
大桥震动-图像来自网络

当大风吹过桥梁会造成大桥抖动，并有可能引发剧烈的共振现象。

其中，核心的词汇是共振。当两个或多个频率的波，按照某一相位叠加在一起后，如果叠加后的波也是周期的，而且叠加后波的周期和叠加前波的周期越相近，共振就越厉害，原波的能量产生了叠加。相反地，叠加后波的周期和叠加前波的周期越相差越大，共振就越小，两个波的能量大部分会互相抵消。当叠加后的周期无限大时，就说明不会产生共振。

当然了，音阶与音阶之间叠加，肯定是周期的，因为音阶的频率值都是有理数，所以音阶的周期也是有理数，叠加出来的波，就是他们的最小公共整数周期。区别在于，不同的音阶在一起播放的时候，共振能力是不同的。

下面这张图来自于《写给理工科人看的乐理》。图中的最小公倍数就是共振程度的量化指标，最小公倍数越小，说明共振越强烈；反之说明共振越弱。
请添加图片描述
综上，共振程度就是倾向性的物理表述。当两个音共振越强，我们大脑中感受就越和谐，越稳定（形成稳定周期）。共振越差，大脑感受就越弱，越不够稳定。我们听音乐时的情绪波动、感情变化也是由此激发而来。

倾向形式

上面说了音阶之间倾向性的数理逻辑，接下来说说倾向性的具体形式。

因为音阶叠加相位或叠加时刻不同，音阶的倾向形式可以分成两种：

第一种形式是在上一个音未结束时开始弹奏下一个音，这样一个音接着一个音，形成音阶序列，这种形式的倾向叫做旋律。旋律的特点是：声音简单清晰，但是过于简单，虽然可以引起共振，但是共振还可以加强。

第二种形式是两个或两个以上的音，同时弹奏，这种形式的倾向叫和弦。旋律可以看作音阶在水平方向，即时间方向上的叠加，和弦可以看作音阶在垂直方向上的叠加。和弦的作用是，它可以加强音乐的共振能力，丰富音乐的层次感。一般来说，和弦是作为旋律的衬托，也就是背景存在的，旋律永远是主角。当旋律配上和弦，垂直叠加会让音乐更加丰满，水平叠加会利用倾向性，推动音乐的进行。