221. 最大正方形

题目

在一个由 0 和 1 组成的二维矩阵内，找到只包含 1 的最大正方形，并返回其面积。

示例:

输入:

1 0 1 0 0

1 0 1 1 1

1 1 1 1 1

1 0 0 1 0

输出: 4

解题思路

思路：动态规划

本篇幅使用动态规划的原理来解决该问题。我们用 dp(i, j) 表示以 (i, j) 为右下角，且只包含 1 的正方形的边长最大值。如果能够求出所有的 dp(i, j) 值，其中最大值就是最大正方形的边长，其平方就是我们要求的面积。

根据题意要求，所给的二维矩阵内，只有包含 1 的才能构造正方形。如果 dp(i, j) =为 0 的情况下，讨论是否能够构成正方形并求出最长边就没有意义，因为这位置不能在构成由 1 组成的正方形中。

那么如果该位置为 1 的情况下，就需要考虑三个位置的情况，如下图：

先看下构成正方形的情况，结合上面的图示，如果当前的值为 1，那么要找出最长的边，就需要考虑从当前位置出发，上面，左边，左上的值都必须是 1，只有这样，再加上当前位置才有可能构成正方形。

也就是说，这三个方向都不能是 0。但是如果当前位置为 1，但三个方向受限制的情况下，三个方向的边不一定都一样，那么构成的正方形的边长则需要取三者最短边，再加 1，表示加上当前的位置。

具体如上示图，上面的数字表示以此为正方形右下角的最大边长，其中 ？ 表示作为右下角的正方形区域。

其中左图，受左上角 0 的限制，这里可构成的正方形的最长边为 3。

中间的图例中，受上边 0 的限制，这里可构成的正方形的最长边为 2。

最后的图例中，受左边 0 的限制，这里可构成的正方形的最长边为 2。

可以看出，得出的最长边都是上，左，左上三个正方形中最小边长 + 1。

所以状态转移方程为：

dp(i, j) = min(dp(i-1, j), dp(i-1, j-1), dp(i, j-1)) + 1

那么具体的代码实现如下。

代码实现

class Solution:

def maximalSquare(self, matrix: List[List[str]]) -> int:

if len(matrix) == 0:

return 0

rows = len(matrix)

cols = len(matrix[0])

max_side = 0

dp = [[0] * cols for _ in range(rows)]

for i in range(rows):

for j in range(cols):

# 当前的值为 1 时，考虑求构成正方形的最长边

if matrix[i][j] == '1':

# 当前值为 1，处于首行首列时，不考虑左，上，左上三个方向

if i == 0 or j == 0:

dp[i][j] = 1

else:

dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i-1][j-1], dp[i][j-1]) + 1

max_side = max(max_side, dp[i][j])

square = max_side ** 2

return square

实现效果

以上就是使用动态规划，找出最长边，进而解决《221. 最大正方形》问题的主要内容。

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