338 Counting Bits。输入一个整数n，对于 0 ≤ i ≤ num，计算每个数的二进制1的个数。例如：num = 5 返回 [0,1,1,2,1,2]。希望能在O(n)的时间内完成。这里有动态规划的思想。
思路一：

十进制数	二进制	表示
0	000	0
1	001	1+(0的bits)
2	010	1
3	011	1+(1的bits)
4	100	1
5	101	1+(1的bits)
6	110	1+(2的bits)
7	111	1+(3的bits)
8	1000	1
9	10001	1+(1的bits)
10	10010	1+(2的bits)
11	10011	1+(3的bits)
…

观察可以发现，值为$2^n$的时候,1的位数为1。其他情况下数，就是1+【从0开始的数1的位数】。

public int[] countBits3(int num) {int[] r = new int[num+1];int p = 1,i=0;while(p<=num){if((p&(p-1))==0) i=0;r[p++] = 1+r[i++];}return r;
}

思路二：发现一个规律：,7=111 ，由011->111添加了1个1；6=110，由011->110,1的个数不变，但是1的位置变了。从0daonum是一个不断变换1的位置或者不断加1的过程，这样就将任意一个数i，与i/2联系起来了。

public int[] countBits(int num) {int[] r = new int[num+1];for(int i =1;i<=num;i++){r[i] = r[i/2]+(i&1);}return r;
}

i&1，当数字为偶数就加0，如果是奇数就加1。

318 Maximum Product of Word Lengths。最大的单词长度乘积。输入一个字符串数组words，返回最大的length(words[i])*length(words[j]),$i \ne j$，并且单词i和单词j不含有公共字符。
思路一：难点是判断两个字符串是否包含相同字母。可以一个个遍历找到，效率会比较低。看看用位运算能怎么做。一共26个小写字母。表示不同的字母可以用one-hot类型表示（从词向量表示方法得到的启示）。

z = 10000…000(一共25个0)
y = 01000…000(一共25个0)
…
a = 0000…001

用26位的二进制表示不同的字母。
这样一个字符串 abc = 000….111
azc = 100…..101
两个字符串的值做与操作。如果结果为0，则说明没有相同字符。

public int maxProduct(String[] words) {int n = words.length;int[] values = new int[n];for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < words[i].length(); j++) {values[i] |= (1 << (words[i].charAt(j) - 'a'));}}int maxproduct = 0;for (int i = 0; i < n - 1; i++) {for (int j = i + 1; j < n; j++) {if ((values[i] & values[j]) == 0) {if (words[i].length() * words[j].length() > maxproduct) {maxproduct = words[i].length() * words[j].length();}}}}return maxproduct;}

137 Single Number II。给定一个数组，每个数字出现三次，只有一个数字出现了一次。找到这个数字。
思路一：以前有个题目是说每个字母出现两次，只有一个字母出现了一次。这样用异或操作，就能找到只出现了一次的字母。但是出现三次？这里方法不管用了。
　计算数组中所有数字的每一bit1的个数。1=01，如果数组中有三个1，那么第0位的1就有3个，3%3=0。你肯定会问题如果数组中有三个1和3呢？那第0位的1就会有6个，6%3=0。但是如果只有2个3，那第0位的1就只有5个，5%3!=0。那3就是要找的数字了。

public int singleNumber(int[] nums) {int result = 0;for (int j = 0; j < 32; j++) {int sum = 0;for (int i = 0; i < nums.length; i++) {sum += ((nums[i] >> j) & 1);}result += ((sum % 3)<<j);}return result;
}

260 Single Number III。输入数组nums，每个数字都恰好出现了两次。但是有两个数字，都只出现了一次。找到这两个数字。
思路：记录只出现了1次的两个数分别为a，b。
　出现了2次的时候，找不同，肯定需要异或操作。对所有nums的元素做异或，最后得到的是r=a|b。如果r的第i位等于1，那说明a和b在这个位置是有分歧的。我们利用这一个bit就可以将nums数组分为第i位是0和第i位是1，两个部分。这个时候再做异或，就能去掉出现了两次的数，留下只有一次的数。
　只留下一个数某一位为1，其他都为0，的操作是：n &=-n。
　

public int[] singleNumber(int[] nums) {int[] ans = new int[2];int diff = 0;for (int num : nums) {diff ^= num;}diff &= -diff;for (int num : nums) {if ((num & diff) == 0) {ans[0] ^= num;} else {ans[1] ^= num;}}return ans;
}

78 subsets
思路：求子集，就是将数组中每一个元素，或者取或者不取，组合起来。从二进制的角度来表示。例如nums=[1,2,3]。下标分别是 0,1,2。每次取一个，2个，三个就遍历完成了。
用1表示取这一位的数字。

下标： 0 1 2
组合 0 0 0 =0
1 0 0 =4
0 1 0 =2
0 0 1 =1
1 1 0 =6
1 0 1 =5
0 1 1 =3
1 1 1 =7

　发现下标用0 1 表示后的值就是从0到7. 7=2^3-1。所以找到规律。
　做了这么久，第一次直接找到最佳回答。
　显然还可以用深度优先搜索的思路理解。
　

public List<List<Integer>> subsets(int[] nums) {List<List<Integer>> result = new ArrayList<List<Integer>>();int n = nums.length;int total = (1<<n)-1;for(int i=0;i<=total;i++){List<Integer> list = new ArrayList<Integer>();for(int j=0;j<n;j++){if(((i>>j) &1)==1){list.add(nums[j]);}}result.add(list);}return result;}

总结：这次关于二进制习题的复盘就结束了。整个做题的过程还是比较沮丧的。平时二进制操作用的比较少。前面的习题基本都是得看答案才能知道二进制该怎么用。这些操作在笔记中，用加粗符号标记出来了。当习题做到中间的时候，已经开始能想到用什么操作，能实现什么功能了。但是还不能完全做对。到了最后终于能找到感觉了。这也说明了练习，总结，才能掌握一门技巧。多次练习、总结终会学到一门技巧。解决问题过程中，对规律的观察和总结，是解题的关键。