[学习笔记]上下界网络流

有的时候，网络流建模要考虑某些边必须选择若干次，又不能多于若干次，而且不太容易转化成比较好的限制模型，

就简单粗暴地给每条边定一个流量的上下界，求在满足上下界的基础上的一些问题。

大概有以下几种。

基本思路都是先满足下界，再调整流量守恒，一边满足最优性。

 

无源汇上下界可行流

每条边的流量有上下界
问是否存在一种可行方案

 

首先我们要保证每个点的流入流量等于流出流量
如果存在一个可行流,那么一定满足每条边的流量都大于等于流量的下限.因此我们可以令每条边的流量等于流量下限,得到一个初始流,然后建出这个流的残量网络，每条边的流量等于上限减下限。
但现在可能流量不是守恒的，让t[i]=流入量-流出量
我们建出虚拟的源点和汇点，如果t[i]>0,源点向i连t[i]的边，否则i点向汇点连-t[i]的边，看是否满流即可

 

注意，把下界干掉时，不是真的流过去，反向边不用动。因为这里不能反悔。

 

有源汇上下界可行流

T到S连一条inf的边e。然后同上。

设e的最终流量是w，则原图的可行流就是w

证明：

S，T本身没有入边、出边，那么e的流量就是S流出的，流到T的流量。

拆掉这个边，每个边流量加上下界

由于剩下的图中，满足流量守恒和上下界，那么一定是一个合法的网络流流量分配，那么S流出的流量w就是总流量

 

无源汇上下界最小费用可行流

干掉下界的时候，把费用先计算上。

把超级源超级汇求最大流的一步，换成最小费用最大流即可。

即满足合法的前提下，最小化费用。

费用就是之前的费用加上这次的费用。

例题：[NOI2008]志愿者招募

 

有源汇上下界最小费用可行流

t到s是（inf，0）的边。

同上。

 

有源汇上下界（最小费用）最大流

先求可行流

现在流量已经守恒了。

拆掉t到s的边

残量网络上求s到t的最大流即可。

因为最大流过程一定满足流量守恒，所以依然合法。所以求可行流的反向边流量可以保留，支持反悔。

最大流=可行流+s到t的增加的最大流

 

如果涉及最小费用，把所有的最大流换成最小费用最大流即可。

记得统计三次费用。

 

有源汇上下界（最小费用）最小流

https://blog.csdn.net/Hanks_o/article/details/77995557

两种方法。

第一种：

直接类比上面的 有源汇上下界（最小费用）最大流

理解一下反边，就是反悔。

t到s的最大流，就是s到t能减少的最多的流量。

所以最后一步，求t到s的最大流。

最小流=可行流-t到s的最大流。

 

第二种：（并不如第一个好理解）

类似 <有源汇上下界可行流> 的构图方法，但是不添加T到S的边，求一次超级源到超级汇的最大流。
加边(T,S,0,+∞)，在上一步残量网络基础上再求一次超级源到超级汇的最大流。
流经T到S的边的流量就是最小流的值。

该算法的思想是在第一步中尽可能填充循环流，以减小最小流的代价。

第二步最大流为了保证合法性。

其实相当于，第一步先占据一些循环流，然后再跑完第二个最大流之后，删掉t到s的边，对于一些第一步构成的循环流，删掉。

观察现在实际的图流量分配，就是最小流了。

 

例题： P4843 清理雪道