扩展欧几里德问题

我们先来看这个问题

求最大公约数的gcd(m,n)方法也可以如下定义：

如果m%n为0，那么gcd(m,n)的值为n.

否则，gcd(m,n)就是gcd(n,m%n)

编写一个递归的方法来求最大公约数。编写一个测试程序，计算gcd(24,16)和gcd(255,5)

我们先引入欧几里德的证明

欧几里德证明

gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

a=kb+r    r=a%b  r=a-kb

d为gcd(a,b)那么可以推出d为gcd(b,a%b)

写成代码的形式:

intgcd(int m,int n)
{if(!(m%n))returnn;return gcd(n,m%n);//return m%n==0?n:gcd(n,m%n);//return n?gcd(n,m%n):m;
}

下面我们来看一道简单的题目（poj1061）

青蛙的约会

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Description

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。 
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。 

Input

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。

Output

输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"

Sample Input

1 2 3 4 5

Sample Output

4

分析题意之后不难得出

a*x+ b*y=gcd

那么我们引入扩展欧几里德的概念

1.扩展欧几里德解的前提

现在我们知道了a 和b 的最大公约数是gcd，那么，我们一定能够找到这样的 x和 y，使得:a*x + b*y = gcd

我们就可以用x0 和y0 表示出整个不定方程的通解：

x= x0 + (b/gcd)*t

y = y0 – (a/gcd)*t

2.扩展欧几里德解的思路:

a*x + b*y= gcd

a*1 + b*0= gcd

3.扩展欧几里德解的证明:

1.a*x+ b*y=gcd

2.b*x1+ (a%b)*y1=gcd

3.a%b= a - (a/b)*b

由此可以得出:

gcd= b*x1 + (a-(a/b)*b)*y1 =b*x1+ a*y1 – (a/b)*b*y1 =a*y1+ b*(x1 – a/b*y1)

写成代码的形式:

long long ex_gcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
{if(b == 0){x = 1;y = 0;return a;}long long r = ex_gcd(b,a%b,x,y);long long temp = x;x = y;y = temp - a/b*y;return r;
}

完整源代码:

#include <iostream>
#include <stdio.h>
using namespace std;
long long ex_gcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
{if(b == 0){x = 1;y = 0;return a;}long long r = ex_gcd(b,a%b,x,y);long long temp = x;x = y;y = temp - a/b*y;return r;
}
int main()
{long long x,y,m,n,l,p,q;scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&l);int r = ex_gcd(n-m,l,p,q);if((x-y)%r)cout<<"Impossible";else{long long d = l/r,dd = (x-y)/r;p *= dd;p = (p%d+d)%d;printf("%lld\n",p);}return 0;
}

附上完整课件资料:http://download.csdn.net/detail/k183000860/9334973