一、概念

Bloom Filter的中文翻译叫做布隆过滤器，是1970年由布隆提出的。它实际上是一个很长的二进制向量和一系列随机映射函数。布隆过滤器可以用于检索一个元素是否在一个集合中。它的优点是空间效率和查询时间都远远超过一般的算法，缺点是有一定的误识别率和删除困难。如文章标题所述，本文只是做简单介绍，属于科普文章。

二、应用场景

在正式介绍Bloom Filter算法之前，先来看看什么时候需要用到Bloom Filter算法。

1. HTTP缓存服务器、Web爬虫等

主要工作是判断一条URL是否在现有的URL集合之中（可以认为这里的数据量级上亿）。

• 对于HTTP缓存服务器，当本地局域网中的PC发起一条HTTP请求时，缓存服务器会先查看一下这个URL是否已经存在于缓存之中，如果存在的话就没有必要去原始的服务器拉取数据了（为了简单起见，我们假设数据没有发生变化），这样既能节省流量，还能加快访问速度，以提高用户体验。
• 对于Web爬虫，要判断当前正在处理的网页是否已经处理过了，同样需要当前URL是否存在于已经处理过的URL列表之中。

2. 垃圾邮件过滤

假设邮件服务器通过发送方的邮件域或者IP地址对垃圾邮件进行过滤，那么就需要判断当前的邮件域或者IP地址是否处于黑名单之中。如果邮件服务器的通信邮件数量非常大（也可以认为数据量级上亿），那么也可以使用Bloom Filter算法。

几个专业术语

这里有必要介绍一下False Positive和False Negative的概念（更形象的描述可以阅读第4条参考）。

• False Positive中文可以理解为“假阳性”，形象的一点说就是“误报”，后面将会说道Bloom Filter存在误报的情况，现实生活中也有误报，比如说去体检的时候，医生告诉你XXX检测是阳性，而实际上是阴性，也就是说误报了，是假阳性，杀毒软件误报也是同样的概念。
• False Negative，中文可以理解为“假阴性”，形象的一点说是“漏报”。医生告诉你XXX检测为阴性，实际上你是阳性，你是有病的（Sorry, it’s just a joke），那就是漏报了。同样杀毒软件也存在漏报的情况。

 

三、Bloom Filter算法

初始状态下，Bloom Filter是一个m位的位数组，且数组被0所填充。同时，我们需要定义k个不同的hash函数，每一个hash函数都随机的将每一个输入元素映射到位数组中的一个位上。那么对于一个确定的输入，我们会得到k个索引。

插入元素：经过k个hash函数的映射，我们会得到k个索引，我们把位数组中这k个位置全部置1（不管其中的位之前是0还是1）

查询元素：输入元素经过k个hash函数的映射会得到k个索引，如果位数组中这k个索引任意一处是0，那么就说明这个元素不在集合之中；如果元素处于集合之中，那么当插入元素的时候这k个位都是1。但如果这k个索引处的位都是1，被查询的元素就一定在集合之中吗？答案是不一定，也就是说出现了False Positive的情况（但Bloom Filter不会出现False Negative的情况)

在上图中，当插入x、y、z这三个元素之后，再来查询w，会发现w不在集合之中，而如果w经过三个hash函数计算得出的结果所得索引处的位全是1，那么Bloom Filter就会告诉你，w在集合之中，实际上这里是误报，w并不在集合之中。

 

False Positive Rate

Bloom Filter的误报率到底有多大？下面在数学上进行一番推敲。假设HASH函数输出的索引值落在m位的数组上的每一位上都是等可能的。那么，对于一个给定的HASH函数，在进行某一个运算的时候，一个特定的位没有被设置为1的概率是

那么，对于所有的k个HASH函数，都没有把这个位设置为1的概率是

如果我们已经插入了n个元素，那么对于一个给定的位，这个位仍然是0的概率是

那么，如果插入n个元素之后，这个位是1的概率是

如果对一个特定的元素存在误报，那么这个元素的经过HASH函数所得到的k个索引全部都是1，概率也就是

根据常数e的定义，可以近似的表示为：

 

关于误报

有时候误报对实际操作并不会带来太大的影响，比如对于HTTP缓存服务器，如果一条URL被误以为存在与缓存服务器之中，那么当取数据的时候自然会无法取到，最终还是要从原始服务器当中获取，之后再把记录插入缓存服务器，几乎没有什么不可以接受的。
对于安全软件，有着“另可错报，不可误报”的说法，如果你把一个正常软件误判为病毒，对使用者来说不会有什么影响（如果用户相信是病毒，那么就是删除这个文件罢了，如果用户执意要执行，那么后果也只能由用户来承担）；如果你把一个病毒漏判了，那么对用户造成的后果是不可设想的……更有甚者，误报在某种程度上能让部分用户觉得你很专业……

参考资料：

1. Bloom Filter 算法简介 (增加 Counting Bloom Filter 内容