Zmn-0351 薛问天：再谈数学概念的定义，评新华先生《0345》

【编者按。下面是薛问天先生发来的文章。是对《Zmn-0345》新华先生文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

再谈数学概念的定义，

评新华先生《0345》

薛问天

xuewentian2006@

。

(一)，抽象的「有穷」和「无穷」不是数学概念 。

抽象的「有穷」和「无穷」不是数学概念 ，所以在数学中并没有「有穷」和「无穷」的数学定义 。在数学中只有具体的「有穷集」和「无穷集」的概念，其它的「有穷小数」和「无穷小数」，以及「有穷序列」和「无穷序列」，「有穷枝」和「无穷枝」... 等数学概念都是在「有穷集」和「无穷集」定义的基础上定义的数学概念 。例如「有穷小数」是小数点后的位数集是有穷集的小数，而「无穷小数」是小数点后的位数集是无穷集的小数。「有穷序列」是序列的项集是有穷集的序列，而「无穷序列」是序列的项集是无穷集的序列。「有穷枝」是结点集是有穷集的枝，而「无穷枝」是结点集是无穷集的枝，... 等。

在数学中任何概念，都不能按它的名称的字面含义來理解，而要按它的定义链，一步步回溯弄清它的确切含义。那些用查汉语词典或其它方法，了解词汇的字面含义的语义学方法來学习数学，是绝对错误的。我反复强调上数学课不是上语文课。

例如，要了解数学概念「自然数」的含义，必须根据「自然数」的数学定义，而绝不是先去了解什么是「自然」，然后才能定义「自然数」。数学概念「无穷集」也一样，有了上述认识，我想新华先生就不会提问这样的问题: 【没有「无穷」的定义，如何定义「无穷集」呢？】因为没有「自然」的定义，完全可以用皮亚诺公理等方法定义自然数。同样在数学中没有「无穷」的定义，照样可以用同自然数的一一对应的方法来定义「无穷(可数无穷)集」！

新华先生说【「无穷」和「无穷集」是两个不同的概念。】没有错，「无穷」不是数学概念，所以没有数学定义。而「无穷集」是数学概念，所以有数学定义。

另外不要把「定义」同「概念属性的解释和说明」相混淆。【无穷是有限的不断延伸，有始无终，】这只能是一种解释和说明，不能作为数学定义，因为用语并不严格，是一种描述性的语言，不是有定义的数学语言。

我们的方法是用皮亚诺公理和集合论公理定义「自然数」和断定它的存在，然后再用自然数和一一对应定义「有穷集」和「无穷集」。这是严格的数学定义方法。

即【任意有穷集】指的就是存在一个n，能使其同集合｛0,1,2,...,n)建立一一对应的集合。【无穷集(这里指的是可数无穷集)】，指的是能同全体自然数集N一一对应的集合。从这个定义就可明显区分【任意有穷集】同【无穷集】的不同。

潜无穷观认为，由于任意自然数都可以通过“+1”而得到一个新的自然数，于是认为这个集合的【生成过程】永远不会完成结束，所以认为自然数集不是一个确定的集合。

而实无穷观认为，任何自然数+1还是自然数，没有最大自然数，这只是自然数集的属性，并不影响由所有的自然数构成一个确定的数学对象，因而承认它是一个由所有自然数作为元素构成的集合。它包括了所有产生的自然数，因而集合不会再增加新的自然数。这并不意味着集合中有最大自然数。

每个自然数n，都是有穷数，是指任何自然数n都可由0经有穷次的+1运算而得到，不存在无穷自然数，也不存在最大自然数。但是所有自然数的集合却是一个确定的数学对象:无穷集合。这就是实无穷观对自然数和对所有自然数的集合的认识。

 (二、五)，要了解这里讨论的來由。

 (1)，新华先生问【实际上从薛问天先生本意就是“区间(0,1)中不是有理数就是无理数”，干脆说“区间(0,1)挖去所有可数多个有理数，剩余的是不可数多个无理数”，何必要强调不可数多个无穷序列呢？】

【对于区间(0,1)中任意一个无理数，都有一个确定的对应点，而这个确定的对应点对应的数值就是这个无理数，与不可数无穷多个无穷序列没有任何关系，何必多此一举呢？】

新华先生的提问，说明他不了解我们这里所讨论的问题的來由。我们这里所讨论的一切问题都是由黄汝广先生提出的问题引起的。【何必要强调不可数多个无穷序列呢？】【何必多此一举呢？】只有了解了问题的原由，才能知道为什么【何必】。

 (2)，事出有因，我们的讨论是针对黄汝广先生在《0308》中提出的一个【证明】。后经《0311、0314、0316、0319、0321...》等一系列的讨论。基本思路是这样的。

黄汝广先生认为，在区间(0,1)中挖去全部可数无穷个有理点后，剩余的是一个按某种编号规定用自然数编号的无穷序列，即有可数无穷个剩余部分。他证明其中每个部分都不可能是区间，而只能是空集或只包含一个无理数的集合。于是得出了剩下的是可数无穷多个无理数的结论。这与我们己知的剩余的应是不可数无穷多个无理数的事实相矛盾。

这里的问题是黄先生的这个推论错在哪里。我指出他的推理错误是，由于不同的编号规定会产生不同的无穷序列，所以这里剩余的不是黄先生所说的只有一个无穷序列，而是有不可数无穷多个这样的无穷序列(因为有不可数无穷多种编号规定)，从而剩余的是不可数无穷多个无理数，而不是可数无穷多个无理数。

这里所说的按我们的编号规定形成的各无穷序列的各个项，可以严格证明，或者是空集或者是由一个无理数构成的单个元素集。而挖去所有有理数后的剩余部分是所有这些无穷序列的项的并集，因而是不可数无穷多个无理数。把区间中全体无理数，看作是每个无理数构成的单个元素集的并集，这并不影响无理数集的稠密性。

另外要解释一下，在实数理论中的「稠密性:」和「连续性」有明确的定义，不要用字面上的稠密和连续的通常语义来理解和解释。有理数集和无理数集只满足稠密性但不满足连续性，但实数集既满足稠密性又满足连续性。因而新华先生说【离散与连续是对应的，是对立的概念，稀疏与稠密是对应的，是对立的概念，稠密是建立在离散概念基础上的，...】并不符合「稠密性」和「连续性」的数学定义。如果【稠密是建立在离散概念基础上的】，怎么解释「实数集既满足稠密性又满足连续性」，和「康托集是完备(连续)的，却不满足稠密性」？

 (三)，关于【线段是无限可分的】

新华先生说【无穷多个有理数点只是相当于分点，线段是无限可分的，不会分到只剩下单个的点，否则，如果只剩下单个的点，就不能继续分下去，只能是有限可分，线段就不是无限可分的。】

其实，【线段是无限可分的】并不是一个严格的数学用语，指的是「线段经任意有穷次分割后，仍可继续再分。」在我们这里相当于在说「单位开区间，挖掉任意有穷个分点后，剩余的仍是有穷个开区间，可以继续再挖走区间中的分点。」并未涉及把全体有理数这无穷个点「挖完以后」的剩余情况。这里的【无限可分】说的是在「挖完以前」可以继续再挖。事实是「挖完以后」所剩下的只是所有的无理数，而没有可分的区间了。黄汝广先生的推理中也己证明了这点。因为如果还有区间，区间中就还有有理数未被挖完。

 (四)，证明中的无穷序列和实数表示的【柯西序列】无关

新华先说【在证明中引入“最后剩余的部分是不可数无穷多个序列，而每个无穷序列的并集是空集或是一个无理数，从而证明了最后剩余的是不可数多个无理数。”有这么意义呢？难道康托尔不是用无穷序列定义实数的吗？从“最后剩余的部分是不可数无穷多个序列”到“而每个无穷序列的并集是空集或是一个无理数，从而证明了最后剩余的是不可数多个无理数。”这难道与康托尔用“柯西序列”定义无理数没有关系吗？】

我这里证明中的无穷序列和实数表示的【柯西序列】，确实没有任何关系。

在我的证明中，最后剩余的部分是不可数无穷多个无穷序列，而按照我的编号规定所生成的每个无穷序列的所有项中，顶多只有一个项(注。还可证对其它编号规定生成的无穷序列，其中顶多只有有穷个项)是一个无理数构成的单个元素集，其它的项全部是空集。于是每个无穷序列的并集是空集或是一个(或有穷个)无理数，从而证明了最后剩余的是不可数多个无理数。也就是说，我这里的无穷序列的项全部是空集或顶多只有一个(或有穷个)无理数构成的单个元素集。求的是这无穷多个集合(项)的并集，同极限概念无关。

而定义实数的「柯西序列」，是指任何一个有理数的柯西序列构成一个无理数，柯西序列的项是有理数。另外，证明实数完备性(也称连续性)是指，实数的任何「柯西序列」的极限是实数。柯西序列的项是实数。这同我们证明的无穷序列是两码事，根本没有絲亳关系。

(五)，见(二、五)。

(六)，潜无穷观者无法参与这些问题的讨论。

新华先生说【我确实认为，「在区间(0,1)中挖去可数无穷多个全部有理数」是不可能的。】

如果认为区间(0,1)中的点由可数无穷个有理数点和不可数无穷个无理数点构成，那么挖去可数无穷个有理数点后，自然就剩下不可数个无理点。我不认为这个理论有什么地方不能【接受客观实际的检验】。潜无穷观者连这些最基本的无穷集的并、交、差集的运算都不接受，实在是寸步难行，只好不参与这些问题的讨论。两种无穷观无法通过讨论求得共识。

(七)，关于无穷个闭集的并集可能不是闭集的例子。

这个例子源于教科书: 实变函数论(江泽坚)第34页。可在网上在线阅读。链接地址是:

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新华先生辩解说【...我在讲这句话是有特定环境下的，是在区间 (0,1)中挖去可数无穷多个全部有理数情况下讲的，这些有理数是离散的，每一 个有理数构成点是闭集，它们是互不相交的，在这个前提下，显然可数无穷多 个全部有理数集并集也是闭集。】

新华先生讲的这句话仍然不对，你没有证明，也证明不了【无穷个互不相交的闭集的并集一定是闭集】。仍然存在无穷个互不相交的闭集的并集可能不是闭集的例子。实际上，区间中全体有理数集并不是闭集。因为任何一个无理数都是有理数集的聚点，但是它并不属于有理数集，可见有理数集并不是闭集。

(1,2,3)，关于集合的并、交运算及无穷个集合的并交运算都有严格的数学定义。这里并不需要极限，而∞也只是个符号，运算结果都是确定的集合，用等号并无任何【不妥】。详细定义内容可参阅《实变函数论(江泽坚)》第1章。

(4)，在例子中，可按定义严格推出这无穷个闭区间的并是开区间，这无穷个开区间的交是闭区间。这里的推理是严格的。你之所以感到【反常】，【不可思议】和【无法解释清楚】，是因为你没有搞清楚什么是无穷个集合的交同并的运算的定义。当你把运算结果的含义想清楚了，上述结论就是显而易见的事。

(5)，新华先生画的是区间端点的图，而应进一步画出相应区间[1/n,1-1/n]的图來。要使下端奌小于上端点，这里要求n＞2，即从下端点y=1/n到上端点y=1-1/n画一条线表示区间。随着n的增大区间在不断加长。结果区间应是这些无穷个闭区间的并。显然(0,1)中的任何点，都存在n使此点在相应的闭区间之中。正因为端点曲线同渐近线y=0,y=1永不相交，对任何n，相应的区间都达不到，即不可能包括0和1。所以结果区间(并)不包括0和1，是个开区间(0,1)。

同理，无穷个开区间(-1-1/n，1+1/n)都包括-1和1，所以它们的交即结果区间，是闭区间[-1，1]。这完全经得起【实践的检验】。新华先生之所以觉得【结论不符合客观存在的事实，是很不妥的；】是因为没有搞清楚这无穷个区间的并和交的实际含义。

(6)，新华先生说【我是喜欢看书的】。这点我很欣赏。特推荐《实变函数论(江泽坚)》一书供新华先生参考。我认为【不迷信书】，【不是一味的囫囵吞枣的接收】这些都是对的。但是另一方面也要强调认真读书，特别是数学专业书，要一个字一个字的读。力求读懂，了解作者的本意。不要还没读清楚就作评论，而应是在正确理解后再作评论。把自己的评论建立在坚实的基础之上。

 (八)，其它几个问题。

(1)，关于勒贝格测度。

新华先生说【...如果仅仅谈点，线上任意两点间都有无穷多个点，这无穷多个点都没有长度，如何能够构成两点间距离呢？勒贝格测度理论得到(0,1)里所有有理数的测度为 0，是用直接法证明的，为什么不用同样的方法去证明(0,1)里所有无理数的测度为 1 呢？不可测集实际就是一个悖论，它充分表明勒贝格测度理论也不尽完善。】

「长度」是对区间而言的，而「测度」是「长度」概念的拓展，使得除区间有「测度」外，一般的构不成区间的点集也有「测度」，而且希望能有同「长度」同样的规则。如对于区间的长度，下述规则成立。任何互不相交的有限或可数无穷多个区间并集的总长度等于各区间长度之和。那么对一般点集的测度來说，是否有同样的规则呢？即是否有「任何互不相交的有限或可数无穷多个点集的并集的总测度等于各点集的测度之和。」实际证明这是不可能的，无论如何定义测度，都办不到这点，这就是因为存在有所谓的「不可测集」。排除掉不可测集，上述规则就可成立。这就是勒贝格测度。因而存在不可测集并不是什么【悖论】，也不是勒贝格测度理论【不尽完善】，而是【理论要接受实际的检验】，不能随心所欲，让理论做实际办不到的事。正因为勒贝格测度坚持上述规则，「任何互不相交的有限或可数无穷多个点集的并集的总测度等于各点集的测度之和」，才推出由全部可数无穷个测度为0的有理数组成的点集的测度为0，再根据区间[0,1]的测度等于1，以及区间这个点集是其中的全体有理数集和全体无理集的并集，显然就可得出由区间中全体不可数无穷多个无理数构成的点集的测度等于1。这一切都是顺理成章的事，合乎逻辑没有矛盾，没有什么【不可思议】。

(2)，关于超实数。

新华先生说【超实数理论的出现就是认为实数表示的点不能构成有长度的区间，而用非标准数来填充实数之间的“隙缝”，是对点构成线的理论的挑战。】

事实并非如此。新华先生这么说，给不出具体论证，纯属主观猜想，毫无根据。超实数不是这个意思。

 (3)，关于开区间和闭区间，稠密性和连续性。

新华先生说区间中的无理数是【稠密地分布在区间中的，但是并不连续，】这句话是对的。但是说【即使填入挖去的有理数也不能构成连续的区间】，没有说清楚原因。应在后面补上半句「再补上区间的两个端点，成为闭区间，就具有连续性了。」

新华先生说的【连续是没有“隙缝”的】，这只是一个直观的说明和解释，而不是连续性的数学定义。连续性也叫完备性，可以这样定义。「称一个点集是完备的(即连续的)，当且仅当点集的所有聚点属于该点集而且点集的所有点都是聚点。」在上述例子中，因为区间的点全是聚点，而且端点也是聚点，闭区间的端点属于区间，而开区间的端点不属于区间，说明闭区间[0,1]具有完备性，而开区间(0,1)不具有完备性。

新华先生说【既然认为区间是由点构成，如果将区间[0，1]去掉端点 0 和 1，就必然会有点来补充作为去掉点 0 和 1 的区间的端点，因为所有点都是平等的，既然有点来充当区间的端点，必然还是闭区间，为什么还要用(0，1)来表述成开区间呢？难道这不令那些认为点构成线的人深思吗？】

如果将闭区间[0，1]去掉端点 0 和 1，就是开区间(0,1)。如果再补上端点0和1，自然就又成闭区间[0,1]了。不知新华先生的问题在哪里，一个线段包含端点称为闭区间，不包含端点称为开区间。不知这有什么可深思的问题？

(全文完)

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