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第1 6章 回 溯

寻找问题的解的一种可靠的方法是首先列出所有候选解，然后依次检查每一个，在检查完

所有或部分候选解后，即可找到所需要的解。理论上，当候选解数量有限并且通过检查所有或

部分候选解能够得到所需解时，上述方法是可行的。不过，在实际应用中，很少使用这种方法，

因为候选解的数量通常都非常大(比如指数级，甚至是大数阶乘)，即便采用最快的计算机也

只能解决规模很小的问题。

对候选解进行系统检查的方法有多种，其中回溯和分枝定界法是比较常用的两种方法。按

照这两种方法对候选解进行系统检查通常会使问题的求解时间大大减少(无论对于最坏情形

还是对于一般情形)。事实上，这些方法可以使我们避免对很大的候选解集合进行检查，同时

能够保证算法运行结束时可以找到所需要的解。因此，这些方法通常能够用来求解规模很大

的问题。

本章集中阐述回溯方法，这种方法被用来设计货箱装船、背包、最大完备子图、旅行商和

电路板排列问题的求解算法。

16.1 算法思想

回溯(b a c k t r a c k i n g )是一种系统地搜索问题解答的方法。在 5 . 5 . 6节求解迷宫老鼠问题时

即采用了回溯技术。为了实现回溯，首先需要为问题定义一个解空间( solution space )，这个

空间必须至少包含问题的一个解(可能是最优的)。在迷宫老鼠问题中，我们可以定义一个包

含从入口到出口的所有路径的解空间；在具有 n 个对象的0 / 1背包问题中(见 1 3 . 4节和1 5 . 2节)，

解空间的一个合理选择是 2n 个长度为n 的0 / 1 向量的集合，这个集合表示了将0或1分配给x 的所

有可能方法。当n= 3 时，解空间为 { ( 0 , 0 , 0 )，( 0 , 1 , 0 ) ，( 0 , 0 , 1 )，( 1 , 0 , 0 ) ，( 0 , 1 , 1 ) ，( 1 , 0 , 1 ) ，( 1 , 1 , 0 )，

( 1 , 1 , 1 ) } 。

下一步是组织解空间以便它能被容易地搜索。典型的组织方法是图或树。图 1 6 - 1用图的形

式给出了一个3 ×3迷宫的解空间。从( 1 , 1 )点到( 3 , 3 )点的每一条路径都定义了3 ×3迷宫解空间中

的一个元素，但由于障碍的设置，有些路

径是不可行的。

图1 6 - 2用树形结构给出了含三个对象的

0 / 1 背包问题的解空间。从 i 层节点到 i+ 1层

节点的一条边上的数字给出了向量 x 中第i

个分量的值x ，从根节点到叶节点的每一条

i

路径定义了解空间中的一个元素。从根节

点A 到叶节点H 的路径定义了解 x = [ 1 , 1 , 1 ] 。

根据w 和c 的值，从根到叶的路径中的一些

解或全部解可能是不可行的。

一旦定义了解空间的组织方法，这个

空间即可按深度优先的方法从开始节点进 图16-1 3 ×3迷宫的解空间

第 1 6章 回 溯 4 9 3

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行搜索。在迷宫老鼠问题中，开始节点为入口节点 ( 1 , 1 ) ；在0 / 1背包问题中，开始节点为根节

点A 。开始节点既是一个活节点又是一个E-节点(expansion node )。从E-节点可移动到一个新

节点。如果能从当前的 E-节点移动到一个新节点，那么这个新节点将变成一个活节点和新的

E-节点，旧的E-节点仍是一个活节点。如果不能移到一个新节点，当前的 E-节点就“死”了

(即不再是一个活节点)，那么便只能返回到最近被考察的活节点(回溯)，这个活节点变成了

新的E-节点。当我们已经找到了答案或者回溯尽了所有的活节点时，搜索过程结束。

图16-2 三个对象的背包问题的解空间

例16-1 [迷宫老鼠] 考察图16-3a 的矩阵中给出的3 ×3的“迷宫老鼠”问题。我们将利用图 1 6 -

1给出的解空间图来搜索迷宫。

从迷宫的入口到出口的每一条路径都与图 1 6 - 1中从( 1 , 1 )到( 3