符号运算
符号运算分为以下几类：
符号表达式和符号矩阵的操作整体定义为
符号微积分
符号线性方程
符号微分方程
A、符号变量、符号表达式和符号方程的分解
一、 生成符号变量要使用sym和syms：
使用sym函数可以定义符号表达式，此时有两种定义方法：
1、使用sym函数将表达式中的每一个变量定义为符号变量；
2、使用sym函数将表达式整体定义为符号变量(但并没有将式子中的变量也定义为符号变量)；
方式一的应用举例：
>> a=sym('a');
>>
b=sym('b');
>>
c=sym('c');
>>
x=sym('x');
>> f=a*x^2+b*c+c
f
=
a*x^2 + c +
b*c
方式二的应用举例：
>>
f=sym('a*x^2+b*c+c')
f
=
a*x^2 + c +
b*c
>>
g=f^2+4*f-2
g
=
4*c + 4*b*c + 4*a*x^2
+ (a*x^2 + c + b*c)^2 - 2
一、使用syms函数定义符号变量和符号表达式
Syms函数的功能比sym函数的功能更为强大，它可以一次创建多个符号变量；而且，使用的格式很简单：(即将sym函数进行系统化，对变量进行统一的转化)
Syms var1 var2 var3
………
应用实例：
>> syms a b c x
>>
f=sym('a*x^2+b*x+c')
f
=
a*x^2 + b*x +
c
>>
g=f^2+4*f-2
g
=
4*c + 4*b*x + 4*a*x^2
+ (a*x^2 + b*x + c)^2 - 2
三、符号方程的生成
方程与函数的区别在于一个有数字和变量组成的表达式，而方程则是由函数和等号组成的等式；
应用实例：
>> %符号方程的生成
>> %使用是sym函数生成符号方程
>>
fch=sym('sin(x)+cos(x)=1')
fch =
cos(x) + sin(x) =
1
B、符号变量的基本操作
一、findsym函数用于寻找符号变量
Fundsym函数用于寻找一个变量表达式中存在的符号变量，
实例应用：
>> syms x n
>> f=sym('x^n')
f
=
x^n
>>
syms a b t
>> g=sym('a*t+b')
g
=
b
+ a*t
>>
findsym(f)
ans
=
n,x
>> findsym(g)
ans
=
a,b,t
二、任意精度的符号表达式
MATLAB提高了digits和vpaliang函数来实现任意精度的符号运算
(1)、digits函数设定所使用的精度
单独使用digits命令将在‘命令’窗口中显示当前设定的精度值；
Digits(D)命令用于设定数值的精确度为D；
D=digits命令也是用于“命令”窗口中返回当前设定的数值精度；
(2)、vpa函数进行可控精度运算
R=vpa(s)命令用于将显示符号表达式s在当前精度D下的值，其中D是使用digits函数设定的精度值
Vpa(S,D)命令用于显示s值在当前精度D下的值；
应用实例:
>> digits
Digits = 32
>>
a=vpa(pi)
a
=
3.1415926535897931159979634685442
>>
b=vpa(pi,100)
b
=
3.141592653589793115997963468544185161590576171875
>>
digits(100)
>> b=vpa(pi,100)
b
=
3.141592653589793115997963468544185161590576171875
三、数值型变量与符号型变量的转换形式
对于任意数值型变量t，使用sym函数可以将其转换为4种形式的符号变量，分别为有理数形式：sym(t)或、sym(t，‘r’)
、浮点型sym(t，‘f’)
、指数型sym(t，‘e’)
、数值精度形式sym(t，‘d’)
应用实例：
>> t=0.01
t
=
0.0100
>> sym(t)
%有理数形式
ans =
1/100
>>
sym(t,'r')
%有理数形式
ans =
1/100
>>
sym(t,'f')
%浮点型形式
ans =
5764607523034235/576460752303423488
>>
sym(t,'e') %指数型形式
ans =
eps/1067 +
1/100
>>
sym(t,'d')
%数值精度形式
ans =
0.01000000000000000020816681711721685132943093776702880859375
使用如上所述的方法可以将数值型矩阵转换符号型矩阵，注意此时只能将其转换为有理数形式；
>> A=hilb(4)
A
=
1.0000
0.5000
0.3333
0.2500
0.5000
0.3333
0.2500
0.2000
0.3333
0.2500
0.2000
0.1667
0.2500
0.2000
0.1667
0.1429
>> A=sym(A)
%将矩阵中的每一个元素转换为有理数形式
A
=
[ 1,
1/2, 1/3, 1/4]
[ 1/2,
1/3, 1/4, 1/5]
[ 1/3,
1/4, 1/5, 1/6]
[ 1/4,
1/5, 1/6, 1/7]
C、符号表达式的操作
操作共包括：四则运算、合并同类型、多项式分解和简化
一、四则运算：
符号表达式的四则运算与通常的算术运算式一样，可以进行四则运算：
实例应用：
>> syms x y a b
>>
fun1=sin(x)+cos(x)
fun1 =
cos(x) +
sin(x)
>> fun2=a+b
fun2
=
a
+ b
>>
fun1+fun2
ans =
a
+ b + cos(x) + sin(x)
>>
fun1*fun2
ans =
(a
+ b)*(cos(x) + sin(x))
二、合并同类项
在MATlab中，使用collect函数来合并同类项，其使用格式如下：
Collect(S,V)命令用于将符号矩阵S中所有同类项合并，并以v为符号变量输出；
Collect(s)命令使用findsym函数规定的默认变量代替上式中的V；
应用实例：
>> syms x y
>>
collect(x^2*y+y*x-x^2-2*x)%此处默认x为符号变量
ans =
(y
- 1)*x^2 + (y - 2)*x
>>
collect(x^2*y+y*x-x^2-2*x,y)%此处修改为以y为符号变量
ans =
(x^2 + x)*y - x^2 -
2*x
>>
f=-1/4*x*exp(-2*x)+3/16*exp(-2*x);
>> collect(f)
ans =
(-1/(4*exp(2*x)))*x +
3/(16*exp(2*x))
使用horner函数进行多项式的因式分解
应用实例：
>> syms x
>>
fun1=3*x^3+5*x^2-14*x-26
fun1 =
3*x^3 + 5*x^2 - 14*x -
26
>>
horner(fun1)
ans = x*(x*(3*x + 5) -
14) - 26
四、符号多项式的简化
在MATLAB 7语言中，使用simplify函数和simple函数进行符号表达式的简化；
A、simplify函数的使用：
Simplify(S)命令将符号表达式S中的每一个元素进行简化，缺点是：即使多次使用simplify函数也不一定得道最简形式
用simple函数进行表达式简化得到的结果要比simplify函数得到的结果更加简化和合理，使用格式如下：
Simple(S)命令用于多种代数简化方法对符号表达式S进行简化，并显示其中最简化的结果；
[R，how]=simple(S)命令在返回最简单的结果的同时，返回一个描述简化方法的字符串how
应用实例：
>> syms x
>>
fun1=(1/x+5/x^2+9/x+2)^(1/4)
fun1 =
(10/x + 5/x^2 +
2)^(1/4)
>>
sfy1=simplify(fun1)
sfy1 =
((10*x + 5)/x^2 +
2)^(1/4)
>>
sfy2=simplify(sfy1)
sfy2 =
((10*x + 5)/x^2 +
2)^(1/4)
>>
simplify(sin(x)^2+cos(x)^2)
ans =
1
>>
s=2*cos(x)^2-sin(x)^2;
>> simple(s)
simplify:
2
- 3*sin(x)^2
radsimp:
2*cos(x)^2 -
sin(x)^2
simplify(100):
3*cos(x)^2 -
1
combine(sincos):
(3*cos(2*x))/2 +
1/2
combine(sinhcosh):
2*cos(x)^2 -
sin(x)^2
combine(ln):
2*cos(x)^2 -
sin(x)^2
factor:
2*cos(x)^2 -
sin(x)^2
expand:
2*cos(x)^2 -
sin(x)^2
combine:
2*cos(x)^2 -
sin(x)^2
rewrite(exp):
2*((1/exp(x*i))/2 +
exp(x*i)/2)^2 - (1/2*i*exp(i*x) - 1/2*i*exp(-i*x))^2
rewrite(sincos):
2*cos(x)^2 -
sin(x)^2
rewrite(sinhcosh):
2*cosh(-x*i)^2 +
sinh(-x*i)^2
rewrite(tan):
(2*(tan(x/2)^2 -
1)^2)/(tan(x/2)^2 + 1)^2 - (4*tan(x/2)^2)/(tan(x/2)^2 +
1)^2
mwcos2sin:
2
- 3*sin(x)^2
collect(x):
2*cos(x)^2 -
sin(x)^2
ans =
2
- 3*sin(x)^2
>>
[r,how]=simple(s)
r
=
2
- 3*sin(x)^2
how =
simplify
C、subs函数用于替换求值
使用subs函数可以将符号表达式中的字符型变量用数值型变量替换，格式如下：
Subs(s)命令用于将符号表达式中的所有符号变量用调用函数中的值或是MATLAB 7工作区间的值代替；
Subs(s，new)命令将符号表达式s中的自由符号变量用数值型变量或表达式new替换；
Subs(s，old，new)命令将符号变量s中的符号变量old用数值型变量或表达式new替换
应用实例：
>> syms x y
>>
f=x^2*y+3*x*sqrt(y)
f
=
x^2*y +
3*x*y^(1/2)
>>
subs(f,x,5)
ans =
25*y +
15*y^(1/2)
>>
subs(f)
ans =
x^2*y +
3*x*y^(1/2)
>>
subs(f,y,5)
ans =
5*x^2 +
3*5^(1/2)*x
>> findsym(f,1) %符号表达式f中系统默认的符号变量
ans
=
x
扩充表空间)
