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正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4593

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题目大意

场上有若干只怪，最高的为$n$，每个怪血量不同，有$m$个血量不存在。

不停释放亵渎（全场打一，如果有怪死亡就再次生效），每次一个怪被攻击会产生价值$x^k$（$x$是该怪亵渎前的血量，$k$是打完总共需要释放的亵渎数量）。

求价值和

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解题思路

直接扭了输出价值和为0

首先可以知道$k=m+1$

然后先不考虑空位答案产生的影响，第一次亵渎产生的代价为${\sum }_{i=1}^n{i}^k$

然后考虑空位位置开始亵渎，如果开始位置为$q$，那么代价为${\sum }_{i=1}^{n-q}{i}^k$

然后减去产生的影响，对于第一次亵渎需要减去的是$a_i^k$

然后对面后面减去的是${\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=i+1}^n{a}_i^{a_j-a_i}$

考虑如何计算${\sum }_{i=1}^x{i}^k$，我们可以知道这个是一个$x+1$项的$k$次函数，我们可以先求出$1\sim x+2$的点，用拉格朗日差值计算答案即可。

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$code$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=60,XJQ=1e9+7;
ll n,m,k,T,ans;
ll f[N],fac[N],a[N];
ll power(ll x,ll b){ll ans=1;x%=XJQ;while(b){if(b&1)ans=ans*x%XJQ;x=x*x%XJQ;b>>=1;}return ans;
}
ll slove(ll x){if(x<=k+2)return f[x];ll ans=0;for(ll i=1;i<=k+2;i++){ll y=f[i];for(ll j=1;j<=k+2;j++){if(i==j)continue;(y*=(x-j+XJQ)%XJQ*power(i-j+XJQ,XJQ-2)%XJQ)%=XJQ;}(ans+=y)%=XJQ;}return ans;
}
int main()
{fac[0]=1;for(ll i=1;i<N;i++)fac[i]=fac[i-1]*i%XJQ;scanf("%lld",&T);while(T--){scanf("%lld%lld",&n,&m);for(ll i=1;i<=m;i++)scanf("%lld",&a[i]);k=m+1;sort(a+1,a+1+m);while(a[m]==n)n--,m--,k--;for(ll i=1;i<=k+2;i++)f[i]=(f[i-1]+power(i,k))%XJQ;ans=slove(n);for(ll i=1;i<=m;i++)(ans+=slove(n-a[i]))%=XJQ;for(ll i=1;i<=m;i++)(ans+=XJQ-power(a[i],k))%=XJQ;for(ll i=1;i<=m;i++)for(ll j=i+1;j<=m;j++)(ans+=XJQ-power(a[j]-a[i],k))%=XJQ;printf("%lld\n",ans);}
}