正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P2490

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题目大意

一个长度为$n$的棋盘上放下$k$个棋子。

第一个要是白色，下一个要是黑色，在下一个是白色以此类推。

先手操控白，后手操控黑。白色只能往右，黑色只能往左。每次操作的可以移动$d$个棋子任意步。

求先手必胜的初始状态数

$1\le d\le k\le n\le 10^4,1\le k\le 100$且$k$为偶数

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解题思路

把两个黑白棋子之间的长度看为石头堆就是一个$Ni{m}_k$游戏了。

$Ni{m}_k$游戏的结论就是$k+1$进制下各个位置的$1$的个数$\%(k+1)$等于$0$的话先手必败。

因为先手必胜比较麻烦，考虑减去先手必败的情况

这个东西和昨天的一道$ARC$的题目很像，每个位分开考虑，设$f_{i,j}$表示前$i$个位都是$0$时，用了$j$个石头的方案。

那么转移也十分显然，枚举一个选的倍数$i$然后分配到$\frac{k}{2}$个石头堆中，方案数就是$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\frac{k}{2}}{i\times (d+1)}\right)$。

然后统计答案的时候对于石子和为$i$的贡献就是$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-\frac{k}{2}-i}{\frac{k}{2}}\right)$（因为每一堆的个数固定，所以选择起点就好了）

时间复杂度$O(nk\log n)$

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=1e4+10,M=110,P=1e9+7;
ll n,k,d,ans,C[N][M],f[16][N];
signed main()
{scanf("%lld%lld%lld",&n,&k,&d);C[0][0]=1;n-=k;k/=2;d++;for(ll i=1;i<N;i++)for(ll j=0;j<M;j++)C[i][j]=((j?C[i-1][j-1]:0)+C[i-1][j])%P;ll z=0;ans=C[n+2*k][k*2];f[0][0]=1;for(ll p=1;p<=n;p<<=1){z++;for(ll j=0;j<=n;j++)for(ll i=0;j+i*p*d<=n&&i*d<=k;i++)(f[z][j+i*p*d]+=f[z-1][j]*C[k][i*d]%P)%=P;}for(ll i=0;i<=n;i++)(ans+=P-f[z][i]*C[n+k-i][k]%P)%=P;printf("%lld\n",ans);return 0;
}