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数据与算法之美

大家好，我是最近过得不太舒心的卢sir。

经常被小思妹提的各种奇葩数学题搞得云里雾里的。

我一看数学题就想做，没想到这些题目都是奇葩中的奇葩，不是那写错就是这计算错。

为了捍卫我最后的倔强，我特地找来几道题目，好让自己保持清醒的头脑。

    1.还有几盏灯亮着    

现有150盏亮着的电灯，每盏灯都有一个独立的拉线开关，按顺序编号依次为 1 到150。将编号为 3的倍数的灯的拉线各拉一下，再将编号为 5的倍数的拉线各拉一下。

问：最后亮着的灯数为几盏？

既然每个灯的开关的是相互独立的，那拉一个数一个就肯定没错了。

3的倍数有 50盏，5的倍数有 30盏，一共为 80盏。那么最后亮着的灯还剩：150 - 80 = 70（盏）。

等一下......有些灯是不是被我拉了两次？

就在卢sir重新数的时候，发现越数越凌乱了...

算了，我还是动手计算吧。

以3的倍数灭灯，150/3=50，以5的倍数灭灯，150/5=30。

此时，需要考虑到第二步拉的30次开关会把第一步关掉的部分灯重新拉亮；

第二步拉亮的灯数为：150/（3*5）=10（3和5的公倍数），即第二步拉亮了10盏，同时也拉灭了20盏灯。

所以，最后亮着的灯数为：150-50+10-20=90（盏）。

    2.消失的一元钱    

有3个人去投宿，一晚 30元。三个人每人掏了 10元凑够 30元交给了老板。后来因为优惠，房费只需 25元，于是老板拿出 5元命令服务生退还给三人，贪心的服务生偷偷藏 2元。然后，把剩下的 3元钱分给了那三个人，每人分到 1元。

这样，一开始每人掏了 10元，现在又退回 1元，也就是 10-1=9，每人只花了9元钱，3个人每人 9元，3 * 9 = 27元 + 服务生藏起的 2元 = 29元。

问：还有一元钱去了哪里？

据说，当年这道题还引起了新西兰的面试风波。卢sir已经迫不及待地搓起了小手了。

其实这道题很简单，我们直接把这笔钱当成“状态量”就好了。（只与初、末金钱数有关，与怎么花钱无关）

初始：三位客人一共有 30元；

最终：三位客人有 3元、服务生有 2元、老板有 25元；

3 + 2 + 25 = 30（元），金钱是守恒的。

但...题目问的那“一元钱”怎么没见着？明明算对了啊。

卢sir当然不能轻易放弃啦~

按照题意：3*（10 - 1）+ 2 = 29（元）与三人的总支出 30元形成矛盾。

原来如此，原题分析中，误把服务生当成了“支出方”，所以才有了“27+2=29（元）与 30元矛盾”的假象。

其实这“一元钱”根本就不存在。

首先，我们先要分清“支出方”和“收入方”。

住店的三人为“支出方”，他们的总支出为：3 * 9 = 27（元）；

老板和服务生都为“收入方”，他们的总收入为：25 + 2 = 27（元）；

此时，收支平衡。

    3.过桥问题    

小明一家要过桥，夜晚要用手电筒，而手电筒（仅一个）只剩30分钟的时间。小明1分钟，弟弟3分钟，爸爸6分钟，妈妈8分钟，爷爷12分钟。由于桥的载重原因，一次最多只能过两个人。过桥后要从已过桥的人中选一个人将手电筒拿回去给其他人用。

问：小明一家人能不能顺利地通过桥？

这个问题最关键的地方就在于，无论是哪两个人先过桥，都要派一个人回去送手电筒，所以，返程的人速度一定要够快才能节省更多的时间。

今夜，小明注定会度过一个忙碌的夜晚。

小明和弟弟过桥，小明再回去：3+1=4分钟；

小明和爸爸过桥，小明再回去：6+1=7分钟；

小明和妈妈过桥，小明再回去：8+1=9分钟；

小明和爷爷过桥：12分钟；

一共耗时：4+7+9+12=32分钟。

古有大禹三过家门而不入，今有小明三到桥头而不过。

等等......32分钟？

大晚上黑灯瞎火的，小明在桥上跑了半天，结果却因为“电量不足”回不了家？

不过，热心肠的卢sir肯定不会置之不理的，这个忙我帮定了。

正当苦恼着如何才能让小明一家五口过桥时，卢sir恍然大悟，对于时间和人员的合理安排调动，这不就是运筹学吗？

运筹学就是指：管理系统的人为了获得关于系统运行的最优解而必须使用的一种科学方法。”

它使用许多数学工具（包括概率统计、数理分析、线性代数等）和逻辑判断方法，来研究系统中人、财、物的组织管理、筹划调度等问题，以期发挥最大效益。

此时，卢sir便有了新的思路，因为这道题比较简单，所以我做简单的分析即可。学会想数学家一样思考，推荐阅读《数学思维导论》

如果是小明全程跑腿的话，爸爸、妈妈和爷爷的过桥时间就需要一个一个叠加起来，光三个人都花费了26分钟了（6+8+12），这部分就会造成很大程度的时间浪费。

我们不如把手电筒给“妈妈”和“爷爷”，让他们两个一起过桥。（安排耗时最长的“妈妈”和“爷爷”一起过桥，那么他们过桥的时间只需计算一遍，也就是12分钟。）

解决了耗时最长的两人之后，剩下三人也就好办了。

小明和弟弟过桥，小明再回去：3+1=4分钟；

小明和爸爸过桥，小明再回去：6+1=7分钟；

妈妈和爷爷过桥，弟弟回去接小明：12+3=15分钟；

小明和弟弟过桥：3分钟；

一共耗时：4+7+15+3=29分钟。

做完这三道题后，卢sir顿感神清气爽，感觉自己还能再写三天三夜。

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