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青少年数学之旅

最近，一条新闻引起了超模君的注意：“三体问题”或有解了！

这个蔑视了人类300多年的老顽固，真的要被彻底解决了吗？

 

三体问题到底是什么？

三体问题是说：三个质量、初始位置和初始速度都是任意的可视为质点的天体，在相互之间万有引力作用下的运动规律问题。

三体问题的真正解决，是建立一种数学模型，使得在已知任何一个时间断面的初始运动矢量时，能够精确预测三体系统以后的所有运动状态。

图源自微信公众号 QbitAI

一脸茫然？让超模君简单描述下：两个人谈恋爱的状态下，他们会十分恩爱并且还可能每天喂你狗粮。

但是如果是三个人谈恋爱呢？（啊喂这不是琼瑶剧!）

这可比两个人谈恋爱的情况复杂太多了！

 

其实从形式上来看，求解三体问题所需的运动方程也是比较简单的：

 

不过大家也别白费力气了！

数学大佬庞加莱早就证明：三体问题无解！是说这个方程组不存在解析解，只有数值解。

 

三体问题要怎么解决？

既然没有解析解，数学家们开始转换思路，寻找特定条件下的解。

与数学家们不同的是，计算机科学家采取了另一种思路，即通过近似和数值技术来模拟三个天体的运行轨迹。

事实上，这一计算过程实施起来也非常简单：

既然已经知道三个天体的初始位置，每个天体所受的万有引力便可以轻松得到，从而可以得到每个天体的加速度，进而推出其速度以及位置的变化，如此循环往复，得到天体随时间的运行轨迹可以说是易如反掌。

 

十分尴尬的是，我们不可能绝对准确地测量三个天体的初始位置和速度，而且计算机能够存储的数据大小也是有限的，因此这些数据总会与真实状态存在些许误差。

 

不过，这个问题也在今年10月得到了优化：来自爱丁堡大学、剑桥大学等高校的数学大佬们，用神经网络来求解三体问题，速度比之前的求解器快一亿倍，而且误差只有十万分之一。

他们利用Brutus模拟求解了10000次它们的三体运动，在神经网络模型中，他们使用其中的9900次模拟作为训练集，100次模拟作为训练集。

 

牛顿与神经网络

大佬们在训练过程中采用了Adam优化器，每个epoch分为5000个batch，激活函数使用了ReLU，其中实线代表训练集，虚线代表验证集，3.9、7.8和10分别代表了使用的数据量的大小，特别的，10代表使用了全部10天生成的数据，即全部数据集。

我们能够清楚看到训练过程中平均绝对误差随epoch变化情况：

 

之后，他们将训练好的模型和Brutus的计算结果进行对比，发现代表经过训练的神经网络令人满意地再现了粒子之间的相互作用，而神经网络的计算时间比Brutus快了十万倍，有时候甚至是一亿倍！

左半边为训练集上的对比，右半边为验证集上的对比，三种颜色的曲线代表三个例子的运动轨迹：

 

这个结果验证了神经网络在混沌系统仿真中的应用，能够更快的速度完成传统的方法的仿真工作。

但是！这个实验中的神经网络模型局限在维平面内，并且得保证是初速度为0的三体问题。

 

最新研究成果

那么，在12月被媒体宣称“或有解了”的最新研究成果，真的能彻底解决“三体问题”吗？

“来自以色列希伯来大学天体物理学家尼古拉斯·斯通博士领导的国际团队称，他们在解决这一难题方面迈出了一大步。”

 

天体物理学家Nicholas Stone

 

听到没有！迈出了一大步！

就是说我们有进步，但是还没有真正解决。

 

 

斯通团队的研究结果是：不稳定的三体系统最终会踢出一个，剩下两个会形成稳定二元关系，可利用传统方法预测其运动。

你可以这样理解：三个人的三角恋爱关系最终会有一人被抛弃，剩下的两人继续谈恋爱。

这么一看好像是有点道理.....

 

也就是说，他们基于过去几百年的天文发现、现代理论参考和团队积累的研究成果分析，得出了一条解决三体问题的新思路。

 

我们可以看到，他们进行了对数据的保守预测、相互作用力、会聚等多种情况的对比分析：

斯通团队暂且避开庞加莱说的“最后啥也不是”的结果，用传统的数学方法预测行星的运动并公布了完整的解决方案：

 

整体来看，斯通团队的发现还是在“无解”的基础之上，不执着于三体问题的严格解，转而研究同样具有意义的统计解。

他们将预测结果与计算机生成的实际运动模型进行比较，发现预测值非常准确：

 数值结果/Numerical Conclusions

(Samsing & llan 17)

 

这次的研究还是充满了不确定性，斯通团队模拟了三个彼此绕行的黑洞的情况，当三个黑洞在一起，其轨道必然变得不稳定。

但即便其中一个黑洞被踢出去，他们也觉得剩下两个黑洞间的关系非常有研究价值。

说到底，“三体问题”还是没有被真正解决~

 

为什么要解决三体问题？

说了这么多，超模君听到了你们的灵魂发问：“研究三体问题到底有什么意义？”

 

三百多年来，无数科学大佬投身研究三体问题，研究的历史过程中，诞生了大量新的数学思想和数学工具，并使得当代航天技术取得蓬勃的发展。

 

我们吃饭睡觉虽然用不到三体问题，可是我们生活中用的GPS定位等科技都需要卫星的各项功能，而确定发射卫星的轨道是科学家必须考虑和需要解决的问题。

通过不断研究和学习三体问题，科学家能将卫星送上太空，为人类服务。

在深远意义上来讲，三体问题是人类向太空进军的首要难题。

正是因为太难了！研究进展非常缓慢，以至于三体问题几乎成了检验人类智力发展程度的一块标志性的试金石。

我们天性中的好奇心以及永不服输的精神，仍然在鼓励着后来的年轻科学家，前赴后继地追逐着三体问题的答案！

 

作者简介：超模君，数学与交叉科学教育自媒体博主。爱分享有用的数学建模知识，爱深挖有趣的交叉科学人物故事，爱为靠谱的现代教育产品打call。著有《芥子须弥·大科学家的小故事》，由清华大学出版社2019年出版。

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