大数计算（大数加法/大数乘法）

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概念

大数加法

加法原理

编程分析

大数乘法

乘法原理

编程分析

(1)累加法

(2)直接乘积法

效率对比

结果

概念

计算机发明的初衷就是解决以人类计算能力无法有效解决的问题，这类问题包括反复多次的复杂运算也包括天文级数字的运算，但就c语言的初步学习可以发现，不论是int还是float乃至更大的unsigned long long int和double形式的数据都是有极限的。一般形式的数据里最大的整型是unsigned long long int，极限为18446744073709551615，是10^19次方的数量级，就日常生活的问题可能足够了，但以计算机的计算能力而言远远不够。

例如64位下的一个整形为例，一个整形四个字节，32bit位，存储的最大数据为4294967296，然而4294967295只有10位，如果字符数组存储只需两个字节，而且数组长度可以非常大。所以用字符数组存储数据，模拟计算数据去解决天文级数字的运算等难题。

大数加法

加法原理

进行计算之前，我们先明白加法的原理

例如 12+9=21

2+9+0（余数）=11

余数：1

取模：1

1+1（余数）=2

余数：0

取模：2

所以等于21

转化为编程思想：

例如 12+9=21

str：string的对象，next：表示进位

next=0;

str:”"

2+9+next=11

next=1

str:”1”

1+0+next=2

next=0

str:”12”

最后逆置一下str，str:”21"

编程分析

string addStrings(string num1, string num2)//num1存储第一个数据，num2存储第二个数据
{int end1=num1.size()-1,end2=num2.size()-1;//这里我们获取每个数据的最后一位数的下标，因为我们进行计算，都是从最后一位数计算的int next=0;//表示的进位string str;//存储两个数据之和的对象while(end1>=0||end2>=0)//值得注意的是，我们对两个数据相加，是对每一个数据对应位相加，但如果一个数据min的位数少于另一位max数据，我们不能停止相加，只是max多余的位都加0而已，所以这里的循环结束的条件是，两个数据遍历完才停止。{//我们存储数据是用字符数组，计算数据还是以整形计算int x1=end1>=0?num1[end1]-'0':0;//x1就是获取一个数据end1下标的数据，之所以会减'0'，在num存储的数据是字符，只要减'0'才是对应的整数。end1>=0?num1[end1]-'0':0如果num1数据遍历完了，就会让x1的值为0int x2=end2>=0?num2[end2]-'0':0;//x2就是获取一个数据end2下标的数据，之所以会减'0'，在num存储的数据是字符，只要减'0'才是对应的整数。end2>=0?num2[end2]-'0':0如果num2数据遍历完了，就会让x2的值为0int ret=x1+x2+next;//计算两个数据对应位之和next=ret/10;//两个数据对应位之和大于等于10，就会产生进位ret=ret%10;//两个数据对应位之和小于10str+=ret+'0’;//存储两个数据对应位之和小于10的部分end1--,end2—;//让两个数据的下标往前移动}reverse(str.begin(),str.end());//因为str存储的数据是相反的，所以需要逆置一下，reverse是string类里的逆置函数if(next==1)//就是两个数据相加时，最后一位也可能产生进位，例如：98+3，str里只保存了01，而最高位的1还没有保存就跳出循环了，所以在这里，可以将进位头插在str中str.insert(0,1,'1’);//在str下标为0处插入1个’1'return str;
}

大数乘法

乘法原理

进行计算之前，我们先明白乘法的原理

例如 25*12=300

5*2+0（余数）=10

取余：1

取模：0

2*2+1（余数）=5

取余：0

取模：5

个位乘积：50

5*1+（余数）=5

取余：0

取模：5

2*1+（余数）=2

取余：0

取模：2

十位乘积：25

总积：25*10+50=300

转化为编程思想：

例如 25*12=300

strN:string的对象,str：string的对象，next：表示进位

next=0

str=“”

strN=“0”

5*2+next=10

next=1

str=“0”

2*2+next=5

next=0

str=“05”

strN=strN+“50”

next=0

str=“”

5*1+next=5

next=0

str=“5”

2*1+next=2

next=0

str=“52”

strN=strN+”250”

strN=“300"

编程分析

(1)累加法

其实，乘法可以转换为加法，例如25*12，我们可以将25累加12次，这样也能达到乘法的效果。

缺陷：效率低

string multiply_1(string num1, string num2)//num1存储第一个数据，num2存储第二个数据
{string strN=num1;//strN时记录乘积总和的对象，我们将num2的数据传递strNint n=0;//n是存储的是num2整形的数字，例如num2=“123”,n=123for(int i=0,j=pow(10,num2.size()-1);i<num2.size();i++,j/=10)//这个循环就是转换过程{n+=(num2[i]-'0')*j;}n-=1;//因为我们开始在strN中存储了num2的数据，所以我们在家的过程需要少累加一次while(n—)//通过循环开始累加{//我们存储数据是用字符数组，计算数据还是以整形计算string str;//str存储的是一次累加的数据int end1=num1.size()-1,end2=strN.size()-1;//这里我们获取每个数据的最后一位数的下标，因为我们进行计算，都是从最后一位数计算的int next=0;//进位while(end1>=0||end2>=0){int x1=end1>=0?num1[end1]-'0':0;//x1就是获取一个数据end1下标的数据，之所以会减'0'，在num存储的数据是字符，只要减'0'才是对应的整数。end1>=0?num1[end1]-'0':0如果num1数据遍历完了，就会让x1的值为0int x2=strN[end2]-'0';//x2就是获取一个数据end2下标的数据，之所以会减'0'，在strN存储的数据是字符，只要减'0'才是对应的整数。int ret=x1+x2+next;//计算两个数据对应位之和next=ret/10;//两个数据对应位之和大于等于10，就会产生进位ret=ret%10;//两个数据对应位之和小于10str+=ret+'0';//存储两个数据对应位之和小于10的部分end1--,end2--;//让两个数据的下标往前移动}reverse(str.begin(),str.end());//因为str存储的数据是相反的，所以需要逆置一下，reverse是string类里的逆置函数if(next==1)//就是两个数据相加时，最后一位也可能产生进位，例如：98+3，str里只保存了01，而最高位的1还没有保存就跳出循环了，所以在这里，可以将进位头插在str中str.insert(0,1,'1');//在str下标为0处插入1个’1'strN=str;//将str的数据传递给strN}return strN;
}

(2)直接乘积法

直接通过，乘法的计算原理进行计算

string multiply(string num1, string num2)//num1存储第一个数据，num2存储第二个数据
{int end2=num2.size()-1;//这里我们获取每个数据的最后一位数的下标，因为我们进行计算，都是从最后一位数计算的string strN("0”);//strN是记录乘积总和的对象，初始值为’0'int flag=-1;//是一个标志while(end2>=0&&(num1[0]!='0'&&num2[0]!='0’))//只要遍历完num2中的数据就结束运算，还有如果num1和num2中只要有一个为’0'就结束运算{int end1=num1.size()-1;//这里我们获取每个数据的最后一位数的下标，因为我们进行计算，都是从最后一位数计算的string str;//记录每次num1中的数据和num2中每一位值的乘积int next=0;//进位int x2=num2[end2]-'0’;//x2就是获取一个数据end2下标的数据，之所以会减'0'，在strN存储的数据是字符，只要减'0'才是对应的整数。while(end1>=0)//遍历num1中的数据{int x1=num1[end1]-'0';//x1就是获取一个数据end1下标的数据，之所以会减'0'，在num存储的数据是字符，只要减'0'才是对应的整数。int ret=x1*x2+next;//计算num1每一位和num1每一位的乘积next=ret/10;//num1每一位和num1每一位的乘积大于10，就会产生进位ret=ret%10;//num1每一位和num1每一位的乘积小于10的值str+=ret+'0’;//存储num1每一位和num1每一位的乘积小于10的值end1—;//让num1数据的下标往前移动}flag++;//标志+1end2--;//让num2数据的下标往前移动reverse(str.begin(),str.end());//因为str存储的数据是相反的，所以需要逆置一下，reverse是string类里的逆置函数int count=flag;//传递标志的值while(count—)//num2每一位值和num1数据乘积等级是不同的，num1第一位是个位，第二位是位，第三位是千位…，所以str存储数据是应该加上对应数目的’0'{str+='0';}char ch=next+'0';if(next!=0)//就是num2每一位值和num1数据乘积时，最后一位也可能产生进位，例如：98*3，str里只保存了94，而最高位的2还没有保存就跳出循环了，所以在这里，可以将进位头插在str中str.insert(0,1,ch);strN=addStrings(strN, str);//将num2每一位值和num1数据乘积累加给strN，addStrings是我们前面提到的大数加法}return strN;
}

效率对比

同时计算999999*999999，看所需要的时间

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
string multiply_1(string num1, string num2)
{string strN=num1;int n=0;for(int i=0,j=pow(10,num2.size()-1);i<num2.size();i++,j/=10){n+=(num2[i]-'0')*j;}n-=1;while(n--){string str;int end1=num1.size()-1,end2=strN.size()-1;int next=0;while(end1>=0||end2>=0){int x1=end1>=0?num1[end1]-'0':0;int x2=strN[end2]-'0';int ret=x1+x2+next;next=ret/10;ret=ret%10;str+=ret+'0';end1--,end2--;}reverse(str.begin(),str.end());if(next==1)str.insert(0,1,'1');strN=str;}return strN;
}
//25
// 3
//next=0
//5*3+next=15
//next=1
//str:5
//2*3+next=7
//str:57
//75
string addStrings(string num1, string num2)
{int end1=num1.size()-1,end2=num2.size()-1;int next=0;string str;while(end1>=0||end2>=0){int x1=end1>=0?num1[end1]-'0':0;int x2=end2>=0?num2[end2]-'0':0;int ret=x1+x2+next;next=ret/10;ret=ret%10;str+=ret+'0';end1--,end2--;}reverse(str.begin(),str.end());if(next==1)str.insert(0,1,'1');return str;
}
string multiply(string num1, string num2)
{int end2=num2.size()-1;string strN("0");int flag=-1;while(end2>=0&&(num1[0]!='0'&&num2[0]!='0')){int end1=num1.size()-1;string str;int next=0;int x2=num2[end2]-'0';while(end1>=0){int x1=num1[end1]-'0';int ret=x1*x2+next;next=ret/10;ret=ret%10;str+=ret+'0';end1--;}flag++;end2--;reverse(str.begin(),str.end());int count=flag;while(count--){str+='0';}char ch=next+'0';if(next!=0)str.insert(0,1,ch);strN=addStrings(strN, str);}return strN;
}
int main()
{string s1,s2;cin>>s1>>s2;size_t begin_1=clock();cout<<"累加法的值："<<multiply_1(s1, s2)<<endl;size_t end_1=clock();cout<<"累加法的时间："<<end_1-begin_1<<"10^-3ms"<<endl;size_t begin_2=clock();cout<<"直接乘积法的值："<<multiply(s1, s2)<<endl;size_t end_2=clock();cout<<"直接乘积法的时间："<<end_2-begin_2<<"10^-3ms"<<endl;return 0;
}