史上最全几何技巧,远比傻做一千道题更实用!


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爱因斯坦说:“一个人当他最初接触欧几里得几何学时,如果不曾为它的明晰性和可靠性所感动,那么他是不会成为一个科学家的。”

我们现在再回过头想想,我们小时候学几何的时候,真的有感受到过这种爱因斯坦说的感动么?

大部分人不要说感动了,恐怕大部分看着满满都是定理和图形的课本时,头都大了,没打开就想退缩,真的学不下去。

相信很多人都对几何,都是抱着这样让人又爱又恨的想法!

从一方面来说,不得不承认,不管它为人类社会的发展做出的巨大的、甚至延续至今的影响,还是在考试上的重要占比,都让人不敢怠慢。

但另一方面,又对几何很不感冒,甚至恐惧。一个个枯燥的数字和一个个简单的图形,其中所需要的各种严格逻辑证明和定理,简直是学习生涯的阴影高峰,挥之不去的噩梦!

时不常地就要发出一个灵魂拷问:“学几何到底是为什么”

但事实上,很多孩子说几何难,其实并非教的内容难,而是被分割成知识点后,那些解题的技巧和需要死记硬背的公式,让孩子“感觉到难”。

大部分孩子,或许能将每个定理和证明方法弄明白,记住各种几何,但却无法通过这些题目,建立起一个完整的几何图景,无法让他的知识点变成知识体系。

这就导致,题目一变,题型一变,他就会感觉很吃力,再多的知识也无法灵活使用,也会越来越从心底里排斥几何。

几何的学习是一个循序渐进的、系统的过程,假如孩子在学习几何时,能先把整个几何框架和脉络理清楚,把几何变换过程的图像都看清楚,在这个基础之上,我们再去追求所谓的简便方法,各种技巧,才能真正做到举一反三,事半功倍。

今天推荐的这套由著名的数学教育家许莼舫亲自编撰,影响了好几代人的经典几何著作《给孩子的几何四书》(全四册),分别以几何定理和证题、几何作图、几何轨迹、几何计算这四个角度,从基本的几何概念和定理出发,结合孩子在学习中经常遇到的问题,列举经典例题,让孩子在学习、思考、比较、优化、压缩的过程中,既能系统性的让孩子搭建对几何的整体框架又能满足对几何本身的理解,培养孩子受益一生的几何思维!

因为这套书内容较为复杂,因此我们推荐六年级左右、阅读能力强的孩子,可以在家长的陪同下共同阅读,初高中的孩子完全可以自主阅读,体会书中之精妙!

【给孩子的几何四书】(全四册)

影响几代人的经典几何科普书

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真正提升几何水平和思考能力!

01

数学家和读者赞不绝口

让人沉迷的经典几何读物

许莼舫作为我国著名的数学教育家,可以说,他的著作拯救了无数的学生和读者。

教育家蒋念祖回忆说:

许莼舫先生编写的一套关于几何解题的书,我印象特别深,特别有意思。

 

霍建平教授在博客中,这样回忆道: 

《许莼舫初等几何四种》的第一部分的全部题目在我上高中之前,至少做过三遍,并且把其中的大部分题目选编在我的教学软件中,他是我心目中的榜样。

我曾无数次向学生、家长推荐过这本书,就是因为它是我认定的最好的一本几何书。

我曾妄想我的这一本《初中几何1000问》能像《几何原本》那样流传千古,现在提起了许莼舫老先生,我只希望它能象《许莼舫初等几何四种》那样,能让人回味无穷就心满意足了。

 

北京大学韩毓海教授说:

初中时代的某一个暑假,我沉迷于一本叫《许莼舫初等几何四种》的书,当时老师们说我聪明,无非就是因为我很擅长解几何题。

 

许莼舫自幼酷爱数学,刻苦自学。1935年他编著了《古算法之新研究》和《古算法之新研究续篇》,在数学界初露头角。随后又根据自己的教学经验,编写了《数学补习用书》四种,深受中学生的欢迎。

成为老师后,为了培养学生对数学的兴趣和爱好,他常在课堂上结合教材,用讲故事的形式介绍我国的数学史,深入浅出,引人入胜;并在课外举办数学辅导讲座;还亲自创作不少数学模型、挂图、表格,进行直观教学。

豆瓣上有读者这样评价许莼舫先生的这套《给孩子的几何四书》:

书是老了点,知识还没过时,一书在手,几何基础知识基本可掌握!

 

很多老师和同学在总结几何学习方法的时候无一不强调重视基础。重要的几何模型、公式、定理等必须要扎实,每个基础知识点必须弄清楚。

把每个定理和定理的证明方法弄明白,不死记硬背,尤其是不能想当然的去做证明题,每写一步都要有理有据,做题的时候多去尝试不同的方法,联想相关的知识点。

同时还强调要注重归纳。

把教材、辅导书上遇到的相关题型总结归纳在一起,经常回顾,尤其是重要题型,要消化其中的解题思路和思维方法,以便做到举一反三,触类旁通。

而,《给孩子的几何四书》的宗旨恰恰在帮助孩子很好的解决这两个问题。许莼舫撰写这套几何著作的宗旨在于:

(1)从基础的概念和定理讲起,帮助孩子透彻了基础的几何定理等基础知识;

(2)把这些内容分类和总结,指导孩子怎样去运用,从而掌握解题的正确方法;

(3)列举大量例题,给孩子进行充分的引导和启示,达到举一反三的效果;

(4)提供一些补充材料,使孩子扩大眼界,充实知识,提高理论基础,为进一步学习创造有利条件。

 

02

从四大角度出发

详细构建思维方法和知识结构

定理和证题是全部几何学里最主要的部分,孩子在初学时必须先把这部分基本概念认识清楚,才能获得学习效果。

因此,《几何定理和证题》中的第一章里,就对这些基本概念做了详细的解释。而且为了避免解释太过空泛,文中尽量用具体而浅显的实例来说明。

一方面使读者获得深刻的印象,另一方面又可以增加他们学习的兴趣。比如:

 

 

在“什么是几何定理和证明题”一节的最开始,作者首先引用了中古古老的数学著作《周脾算经》、古代埃及建造庙宇的具体例子,让略显枯燥的几何显得生动活泼,富有趣味。

在第二章里,作者依照证题的种类,分别介绍一些基础的定理和证明方法,而且都配有经典的范例。

范例中有“思考”或“解析”,详细说明思考的过程,培养孩子的思考能力,以增强孩子解决问题的真实能力。

并且,在每一个证题法之后,作者都配有与之密切配合的“研究题”,以备孩子们同步练习,对于其中较难的题目,都做了适当的“提示”,借以启发思路,使同学们乐于尝试。

同时,几何证题非常繁多,证法也千变万化,孩子除了对有一定方法可循的证题必须熟练外,还要发挥创造的能力,将定理和证题法灵活运用。

因此,本书第三章中列举了很多活用的实例,以便让孩子举一反三。

在容易犯错误的地方,作者就特别指出,以引起孩子注意。题目可以推阐或证法可以变通的,作者另外提供资料,鼓励孩子主动研究,让他们养成细心和深入钻研的习惯。

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《几何作图》旨在解决孩子的几何作图问题,编排方法和《几何定理和证题》类似。

首先从实际问题出发,解释基本的概念,使孩子获得彻底的了解。

再分门别类,讲解各种作图题的分析思考,寻求解答的方法。

最后,举例说明怎样把作图法灵活运用。

为了引起同学们的学习兴趣,本书讲解了一些教科书里讲不到的内容,像以五角星为例说明近似作图法,以“三等分任意角”为例说明作图不能问题,以及由于太省略过程而使结果不合理的例题等。

在本书中,几何中最重要的“轨迹相交法”“平行移位法”“旋转移位法”“翻折移位法”“相似作图法”“代数解析法”等等都有涉及,囊括了几何作图基础方法的方方面面

轨迹的概念比较抽象,很多孩子对这一部分最感到困惑。

作者在《轨迹》的第一章中,就以充裕的篇幅,对学习轨迹应有的基本知识做了详细的讲解。

关于轨迹要怎样去探求,怎样去证明,都有反复指导,使孩子在实际解题时不致有茫无头绪的感觉。

 

第二章用具体的实例,分别引出七条基本轨迹定理,再根据它们来用简法解决许多轨迹问题。

在第三章里举出它们的解法,并做出了应用的例子。

同样,在有关轨迹定理的后面,作者安排有相应的研究题。

这样的编排,无疑是提示了这一问题该用哪一条基本定理,使孩子在研究时获得便利,将来在解决别处遇到的类似轨迹题时,自然可以事半功倍了。

和其他几册一样,《几何计算》在第一章里,详细介绍了许多基本知识,使孩子对几何量有一个彻底的认识,再详示解计算题的步骤和应注意的事项,使孩子在实际解题时可以不乱方寸,改正错误。

其中对于几何量的可通约和不可通约,以及几何比例基本定理对这两种情况的普通适用这样的难点,作者在书中特地做了浅显的讲解,并用实例说明极限的定理,借此把几何计算的理论基础打好,以便和实际联系起来

更值得注意的是,作者在讲解过程中,把各种几何计算分类处理,并做了系统的讲述,尽量把重要定理译成简明的公式并多举范例,达到启示思考的过程,培养孩子运用定理的能力

此外,关于几何计算在日常生活和测量上的应用,本书特地另举了一些范例和研究题,并且还介绍了几个中国古代的几何计算题,可以增加学习兴趣,可谓是面面俱到。

03

时隔60余年再度问世

值得一代代孩子阅读的几何经典

许莼舫的这些几何经典影响力无数的读者,可惜近几十年已不再发行。为此,团结出版社将之整理,重新校勘,采用双色排版印刷,重点突出,方便今天的孩子们阅读。

相信这套被很多读者喜爱和赞叹的几何经典著作,同样会帮助现在的孩子们打开几何的学习大门,帮助他们在数学学习中取得一个理想的成绩,实现自己的梦想!

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