复分析——第1章——复分析准备知识(E.M. Stein R. Shakarchi)

第一章 复分析准备知识

(Preliminaries to Complex Analysis)

The sweeping development of mathematics during the

last two centuries is due in large part to the introduction

of complex numbers; paradoxically, this is based

on the seemingly absurd notion that there are numbers

whose squares are negative

(过去两个世纪数学的全面发展在很大程度上要归功于复数的引入。矛盾的是，这是基于一个看似荒谬的概念，即有些数字的平方为负数)

-------------------------------------------------------------------------E. Borel, 1952

本章致力于阐述我们在本书中广泛使用的基本预备资料。

首先，我们快速回顾复数的代数和解析性质，然后是复平面中集合的一些拓扑概念。 (另请参见第一册第一章末尾的练习。)

然后，我们精确定义了全纯性(holomorphicity)的关键概念，即可微性的复杂分析版本。这使我们能够讨论Cauchy-Riemann方程和幂级数。

最后，我们定义曲线(curve)的概念以及函数沿曲线的积分。特别是，我们将证明一个重要的结论，我们可以大致将其表述如下：若函数 f 有一个原函数(primitive)(即，在这种意义上的原函数——存在一个全纯函数 F 并且其导数恰好是 f )，则对任意闭合曲线 γ ，有

$\int_{\gamma} f (z)dz = 0$ 。

这是迈向Cauchy定理的第一步，Cauchy 定理在复变函数理论中发挥着核心作用。

1 复数和复平面(Complex numbers and complex plane)

本节涵盖的许多事实已在第1册书中使用过。

1.1 基本属性(Basic properties)

一个复数采用 $z = x + iy$ 的形式，其中，x 和 y 是实数，i 是满足 $i^{2}=-1$ 的虚数(imaginary number)(译注：即所谓“虚构”出来的数)。我们分别称实数x和y为复数z的实数(real part)和虚部(imaginary part)。并分别记为

x = Re{ z } 和 y = Im{ z } 。

实数恰好是虚部为0的复数。实部为0的复数称为纯虚数(purely imaginary)。

在我们的整个演示中，所有复数的集合都用 ℂ 表示。通过以下简单的关联(identification)，可以将复数可视化为通常的Euclid平面: 将复数 z = x + iy∈ℂ 与点 $(x , y )\in \mathbb{R}^{2}$ 关联在一起。例如，0 对应原点，而i对应点(0,1)。很自然地， $\mathbb{R}^{2}$ 的x轴和y轴分别称为复数的实轴(real axis)和虚轴(imaginary axis)，因为它们分别对应实数和纯虚数。(见图1)

------------------------------------------------图1. 复平面-------------------------------------------

加和乘复数的自然法则可通过简单地将所有复数视为好似它们就是实现那样对待且牢记 $i^{2}=-1$ 即可。若 $z_{1} = x_{1} + y_{1}i$ 和 $z_{2} = x_{2} + y_{2}i$ ，则 $z_{1} + z_{2} = ( x_{1} + x_{2} ) + ( y_{1} + y_{2} )i$ ，此外，

$\begin {array}{rl} z_{1}z_{2}&=( x_{1} + y_{1}i )( x_{2} + y_{2}i )\\ &=x_{1} x_{2} + x_{1} y_{2}i + x_{2} y_{1}i + y_{1} y_{2}i\\ &=x_{1} x_{2} + x_{1} y_{2}i + x_{2} y_{1}i + i^{2} y_{1} y_{2}\\ &=(x_{1} x_{2} - y_{1} y_{2}) + (x_{1} y_{2} + x_{2} y_{1}) i \end{array}$ 。

若我们采用以上两种表述作为复数的加法和乘法的定义，要验证以下的预期属性是一件简单的事情：

$\bullet$ 交换律(Commutativity): 对于任意 $z_{1} ,z_{2} \in \mathbb{C}$ ，有 $z_{1} + z_{2} = z_{2} + z_{1}$ 且 $z_{1} z_{2} = z_{2} z_{1}$ 。

$\bullet$ 结合律(Associativity): 对于任意 $z_{1} ,z_{2} ,z_{3} \in \mathbb{C}$ ， $(z_{1} + z_{2}) + z_{3} = z_{1} + (z_{2 }+ z_{3})$ 。

$\bullet$ 分配律(Distributivity): 对于任意 $z_{1} ,z_{2} ,z_{3} \in \mathbb{C}$ , $z_{1}(z_{2} + z_{3}) = z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3}$ 。

显然，复数加法对应平面 $\mathbb{R}^{2}$ 上相应向量的加法。然而，乘法由拉长的(dilation)旋转组成，一旦我们引入了复数的极坐标形式，这一事实就会变得清晰明了。目前，我们观察到，复数乘以i 对应这个复数旋转π/2 弧度的角。

复数长度功绝对值的概念与 $\mathbb{R}^{2}$ 中的Euclid长度的概念相同(译注：即两点之间的长度)。更确切地说，我们定义复数 $z = x + iy$ 的绝对值(absolute value)(译注：绝对值就是长度)为

$| z| = (x^{2}+y^{2})^{1/2}$ ，

因此，| z |恰好是原点到点(x ,y)之间的距离。特别地，三角不等式对复数成立：

$|z + w| \leq | z | + | w|$ (对于任意 z ，w ∈ℂ )。

在此，我们列出其它有用的不等式。对于任意 z ∈ℂ ，有不等式 | Re{ z }|≤ | z |和 | Im{ z }|≤ | z |,且对于意 z ，w ∈ℂ 有

$|| z | - | w|| \leq |z - w|$ 。

以上可从三角不等式推导，因为

$| z | \leq | z - w | + | w|$ 且 $| w | \leq | z - w | + | z |$ (译注：写成 | w | ≤ | w - z | + | z | 更直观)。

定义复数 z = x + iy 的共轭为

$\overline{z} = x - iy$ ,

它是通过平面中实轴的反射获得的(译注：汉语为什么翻译为“共轭”，请参考文章 “共轭”(conjugate)是什么意思？ - 知乎,这里的反射，类似镜面成像的虚像。为什么这样规定，因为这样规定之后，复数就能适应各种针对实数应用的法则，例如，勾股定理，而且与几何完美地结合了起来，复数就是与我们的几何相量相关联的代数名称，这些是其奇妙之处)。事实上，当仅仅当一个复数 z 满足 $z=\overline{z}$ 时，这个复数是实数，而当且仅当 $z=-\overline{z}$ 时，复数 z是纯虚数。

读者应该能够毫无困难地验证

$\displaystyle {\rm{ Re}}\{ z \} = \frac{z+\overline{z}}{2}$ 和 $\displaystyle {\rm{ Im}}\{ z \} = \frac{z-\overline{z}}{2i}$ 。

此外，应该也能轻松验证

$|z|^{2} = z\overline{z}$ 以及由此导出的结果 $\displaystyle \frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{|z|^{2}}(\overline{z} \neq 0)$ 。

可以将任意非零复数 z 写成极坐标形式(polar form)

$z=re^{i\theta}$ ，

其中，r > 0 ；此外，称 θ∈ℝ 为z 的参数(argument)(唯一地定义为最多是的2π倍数),一般用 arg z 表示，并且有

$e^{i\theta} = \cos(\theta) + i \sin(\theta)$ (译注：著名的Euler恒等式)。

$|e^{i\theta}|=1$ ，我们观察到，r = | z| ，而θ只是正实数轴与以原点从为起点且通过z的半线(half-line)之间的夹角(逆时针方向为正)。(见图2)

----------------------------------------图2. 复数的极坐标形式------------------------------------------

最后，注意，若 $z = re^{i\theta }$ 且 $w = se^{i\varphi}$ ，则

$\displaystyle zw = rse^{i(\theta+\varphi)}$ ，

因此，一个复数乘法对应 $\mathbb{R}^{2}$ 平面上的一个位似变换(homothety)(即，由长度拉伸或膨胀(dilation)组成的旋转)。

1.2 收敛性(Convergence)

我们做一个从以上所描述的复数的算术和几何属性到收敛和极限的关键概念的转换。

对于一个复数级数 $\{z_{1},z_{2},...\}$ 以及 w ∈ℂ ,若

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{|z_{n}-w|}= 0$ ，

则称复数级数 $z_{n}$ 收敛于 w ，并记作 $\displaystyle w=\lim_{n \rightarrow \infty}z_{n}$ 。

收敛的概念并不是新的。事实上，在复数域ℂ内的绝对值和 $\mathbb{R}^{2}$ 平面上的距离是一致的。我们看到，当且仅当复平面上相应点的序列收敛于对应于w 的点时， $z_{n}$ 收敛于 w 。

作为一个练习，读者可以验证，对于序列 $\{z_{n}\}$ ，当且仅当 $z_{n}$ 的实部与虚部分别收敛于 w 的实部和虚部时，序列收敛于 w 。

由于有时候不可能轻易识别出序列的极限(例如， $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{n=1}^{N}(1/n^{3})$ ) ，因此，对序列本身有一个等价于其收敛的条件是很方便的。对于一个序列 $\{z_{n}\}$ ，若当 n，m ⟶ ∞ 时， $|z_{n} - z_{m}| \rightarrow 0$ , 则称其为一个 Cauchy 序列(Cauchy sequence )。换句话说，给定一个 ε > 0 ，总存在一个N > 0 ，使得只要 n，m > N , 就有 $|z_{n} - z_{m}| < \epsilon$ 。(译注：即极限的ε –σ 描述法。) 实分析的一个重要事实是，实数域ℝ是完备的(complete)：实数的每一个Cauchy序列收敛于一个实数(注：有时候，也称这一事实为Bolzano-Weierstrassp定理)。由于对于复数域 ℂ中的序列 $\{z_{n}\}$ ，当且仅且其实部和虚部均是 Cauchy 序列时，它是Cauchy 序列，因此，我们可以推断出，复数域 ℂ中的每一个Cauchy 序列在复数域ℂ中都有一个极限。因此，我们有下面的结论。

定理 1.1 复数域 ℂ 是完备的。

现在我们将注意力转向一些简单的拓扑考量，这些考量在我们的函数研究中是必要的。读者会再次注意到，没有引入新的概念，而是以前的概念现在以新词汇的形式呈现。

1.3 复平面中的集合(Sets in the complex plane)

若 $z_{0} \in \mathbb{C}$ 且 r > 0 ,我们将以 $z_{0}$ 为中心半径为r的开圆盘(open disc(disk)) $D_{r}(z_{0})$ 定义为从 $z_{0}$ 开始的长度严格小于r的所有复数的集合。换句话说，

$\displaystyle D_{r}( z_{0} ) = \{ z\in \mathbb{C} \left. \right \vert \: | z - z_{0}| < r \}$ ，

而这正是通常以 $z_{0}$ 为圆心半径为 r的平面上的圆盘。而以 $z_{0}$ 为中心半径为r的闭圆盘(closed disc(disk)) $\overline{D}_{r}( z_{0} )$ 定义为

$\overline{D}_{r}( z_{0} ) = \{ z\in \mathbb{C} | | z - z_{0}| \leq r \}$ ，

(译注：开圆盘指无边界，而闭圆盘指有明确的边界。)

开圆盘或闭圆盘的边界都是圆

$C_{r}( z_{0} ) = \{ z\in \mathbb{C} |\: | z - z_{0}| = r \}$ 。

由于单位圆盘(unit disc)(即，中心位于原点半径为1的开圆盘)在随后的章节中起了重要作用，我们后面通常都用 𝔻 表示，

$\mathbb{D} = \{ z \in \mathbb{C} | | z| < 1 \}$ 。

已经一个集合 Ω∈ℂ ，则对于某点 $z_{0}$ ，若存在 r > 0 使得

$D_{r}( z_{0} ) \subset \Omega$ ，

则称 $z_{0}$ 为Ω 的内点(interior point)。Ω 的内部(interior)由其所有内点组成。最后，若集合Ω的所有点都是其内点，则称是集合Ω是开集(open)。这个定义恰好与 $\mathbb{R}^{2}$ 上的开集定义一致。

若集合Ω的补集 $\Omega^{c }= \mathbb{C} - \Omega$ 是开集，则Ω 是闭集(closed)。可以根据极限点(limit point)重述这个定义。对于某一点 z∈ℂ ，若存在一系列点 $z_{n}\in \Omega$ ，使得 $z_{n} \neq z$ 且 $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} z_{n}=z$ ，则称这一点 z 为集合Ω的极限点。现在，读者可以验证，对于一个集合，当且仅当其包含所有极限点时，它是闭集。任意集合Ω 的闭包(closure)都是Ω与其极限点的并集(union)，且一般用表示 $\overline{\Omega}$ 。

最后，集合Ω 的边界(boundary)等于其闭包减去其内点，通常用 ∂Ω 表示(译注：符号∂的为字母d的草书写法，读音同d )。

对于集合Ω，若存在 M > 0 ,使得只要 z∈Ω ，就有 | z|< M，则称Ω是有界的(bounded)。换句话说，集合Ω 包含于某个大圆盘中。其集合Ω有界，我们定义其直径(diameter)为

${\rm{diam}}(\Omega) = \displaystyle \sup_{z,w \in \Omega} (z,w\in \Omega)|z-w|$ 。

若集合Ω是闭合且有界的，则称其是紧致的(compact)。正如实变量的论证情况一样，我们可以证明以下结论。

定理1.2 对于集合Ω∈ℂ ，当且仅当每一个序列 $\{ z_n \}\in \mathbb{C}$ 具有一个收敛于Ω中某一点的子序列时，它是紧致的。

集合Ω的一个开覆盖(open covering)是一族使得

$\displaystyle \Omega \subset \bigcup_{\alpha}U_{\alpha}$

的开集 $\{U_{\alpha}\}$ (不一定可数)。类比于实数集ℝ 的情况，我们有下列等价的紧致性(compactness)公式。

定理1.3 对于集合Ω，当且仅当Ω的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖的时候，它是紧致的。

紧性的另一个有趣的属性是嵌入集(nested sets)。事实上，我们将在研究复变函数理论的一开始就使用这个结果，更准确地说，是在第二章中证明Goursat定理时。

命题 1.4 若 $\Omega_{1}\supset \Omega_2 \supset ...\supset \Omega_n\supset ...$ 是复数集 ℂ 中的一个非空紧致集合序列，且具有属性

$\rm{diam}(\Omega_{n}) \rightarrow 0$ (当 n ⟶ ∞ 时),

则存在一个唯一点 w∈ℂ ，使得对于任意的 n ，都有 $w \in\Omega_{n }$ 。

证明：

在每个 $\Omega_{n }$ 中选择一个点 $z_{n}$ 。条件 $\rm{diam}(\Omega_{n}) \rightarrow 0$ 确切指的是 $\{z_{n}\}$ 是一个Cauchy序列，因此，这个序列收敛于一极限，我们称其为w。由于对于任意的 n，每一个 $\Omega_{n }$ 都是紧致的，所以我们一定有 $w \in\Omega_{n }$ 。最后，w是满足这一条件的唯一点，不然，若 w’也满足同一属性且 w’≠ w ，我们就会有 | w - w’| > 0 ，并且也满足条件 $\rm{diam}(\Omega_{n}) \rightarrow 0$ ，这是矛盾的。

我们需要的最后一个概念是连通性(connectedness)。对于一个开集 Ω⊂ ℂ ，若不可能求得两个不相交的非空开集 $\Omega_{1}$ 和 $\Omega_{2}$ 使得

$\Omega = \Omega_{1} \cup \Omega_{2}$ ，

则称开集Ω 是连通的。称复数集 ℂ 中的一个连通开集为一个区域(region)。类似地，对于一个闭集F，若不可能求得两个不相交的非空闭集 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ 使得

$F=F_{1} \cup F_{2}$ ，

则称其为连通的。

存在开集的一个根据曲线来定义的等价的连通性定义，这种定义通常在实践中很有用：对于一个集合Ω，当且仅当Ω中的任意两点都可以以通过一条完全含于Ω中的曲线γ连接，则称其是连通的。

2 复平面上的函数(Complex numbers and complex plane)

2.1 连续函数(Continuous functions)

令 f 为一个定义在复数集 Ω 上的函数。对于Ω上的任意一点 $z_{0}$ ，若任意 ε > 0 ，都存在一个 δ > 0 ，使得，只要 z∈Ω 且 $| z - z_{0}| < \delta$ ，就有 $| f (z)- f (z_{0})|< \epsilon$ ，则称函数 f 是连续的。另一个等价定义是：每一个序列 $\{ z_{1} ,z_{2} ,... \} \subset \Omega$ 都使得 $\lim z = z_{0 }$ ，则 $\lim f (z) = f (z_{0})$ 。

若函数 f 在每一个Ω的点都是连续的，则称其中Ω 上是连续的。继而，连续函数的和与积也分别是连续的。

由于复数收敛的概念与 $\mathbb{R}^{2}$ 平面上的点是相同的，对于复参数 z = x + iy 的函数f ，当且仅当其被视为两个实变量 x和 y的函数时是连续的，则复参数作自变量时其是连续的。

根据三角不等式，立即可知，若f是连续函数，则由 z ⟼| f (z) | 所定义的实数值函数也是连续函数。若在某一点 $z_{0 }$ 处，对于任意 z∈Ω ，都有

$|f(z)| \leq | f(z_{0})|$ ，

则称 f (在这个定义域内)取得一个最大值(maximum)。将不等式逆向，便得到最小值(minimum)的定义。

定理 2.1 一个紧致性集合Ω 上的连续函数是有界的，并且在Ω上可取得最大小最值。

这当然类似于实变量函数的情况，这里不再重复简单的证明。

2.2 全纯函数或复解析函数(Holomorphic functions)

我们现在提出一个复杂分析的核心概念，与之前的讨论不同，我们引入了一个本质上是真正复数的(complex)定义。

令Ω为上 ℂ 的一个开集，并令 f 为 Ω 上的一个复数值函数。若在某一点 $z_{0}$ 处，商式

(1) $\displaystyle \frac{f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}$ ( $h \in \mathbb{C}$ 且 $h \neq 0$ ， $z_{0}+ h \in \Omega$ )

随着 h ⟶ 0 而收敛于一个极限值，则称函数 f 在点 $z_{0}$ 处是全纯的(holomorphic)(译注：“holo-”表示“全的，整个的，完全的”，“morphic”表示“形态的，形式的，形状的”)。商的极限(当存在时)由 $f ^{'}(z_{0})$ 定义，称为函数 f 在 $z_{0}$ 点的导数(derivative):

$f ^{'}(z_{0})=\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}$ 。

应该强调的是，在上述极限表达式中，h 是可以从任意方向趋近于0的复数(译注：即不同于实分析中只考虑极限的左右极限，在复平面上，我们需要考虑可能的所有方向)。

若函数f 在 Ω 的任意点都是全纯的，则称 f 是Ω上的全纯函数。若 C 是 ℂ 的闭合子集，若f在某些包含 C 的开集上是全纯的，则称f在C上是全纯的。最后，若f在整个ℂ上是全纯的，则我们称f是整函数(entire)。

有时候，使用术语正则(regular)(译注：或正规、常规)或复可微(complex differentiable)来代替术语全纯性(holomorphic)。鉴于表达式(1)模仿了一个实变量函数导数的常规定义，后者是自然的。但尽管存在这种相似性，一个复变量的全纯函数将比一个实变量的可微函数满足更强的性质。 例如，全纯函数实际上会无限多次复可微，即一阶导数的存在将保证任意阶导数的存在。 这与一个实变量的函数形成对比，因为存在不具有两个导数的实数可微函数。事实上，更进一步说：每个全纯函数都是解析函数，因为它在每个点附近都有幂级数展开(幂级数将在下一节中讨论)，因此我们也使用术语“解析(analytic)”作为全纯(holomorphic)的同义词。同样，这与以下事实形成对比：一个实变量存在无法在幂级数中展开的不定可微函数。(参见练习23。)

例子1：

函数 f (z) = z 在 ℂ 中的任意开集上是全纯的，并且 f ’(z) = 1 。事实上，任意多项式

$p(z) = a_{0} + a_{1} z + ... + a_{n} z^{n}$

在整个复平面上是全纯的，且

$p^{'} (z) = a_{1} + ... + na_{n} z^{n-1}$

这可以从下面的命题2.2可推导出。

例子2：

函数 $\displaystyle \frac{1}{z}$ 在 ℂ 中不包括原点的任意开集上是全纯的，且 $f ^{'}(z) = -1/z^{2}$ 。

例子3：

函数 $f(z) = \overline{z}$ 不是全纯的。事实上，我们有

$\displaystyle \frac{f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}=\frac{\overline{h}}{h}$ ，

这个表达式在 h ⟶ 0 时没有极限值，正如读者所见，先取 h为实数然后取h纯虚数即可验证。

一个重要的全纯函数例子族是幂级数，这个在后面再讨论。它们包括诸如 $e^{z}$ 、sin(z)、或cos(z),实际上，如前面最后一段所述，幂级数在全纯函数理论中起着关键性作用。本书的简介中给出了其他一些全纯函数的示例，这些示例将在后面的章节中出现。从上述(1)中可以明晰的是，一个函数 f 在 $z_{0}\in \Omega$ 点是全纯的条件是——当且仅当存在一个复数a，使得

(2) $f (z_{0} + h) - f (z_{0)} - ah = h \psi(h)$ ，

其中，函数ψ的定义满足对任意小的 h 有 $\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0}\psi(h)=0$ 。显然，我们有 $a = f ^{'}(z_{0})$

。从这个公式可以明确的是，只要f是全纯的，它就一定是连续的。其论证和一维实变量的情况一样，在链式法则下应用公式(2)(例如)，读者可以很容易地证明随后的全纯函数的期望属性。

命题 2.2 如果 f 和 g 是Ω中的全纯函数，则：

( i ) f + g 在Ω 中是全纯函数，且 (f + g)’ = f ’ + g’。

( ii ) fg 在Ω 中是全纯函数，且 (fg)’ = f ’g + fg’。

( iii ) 若 $g (z_{0}) \neq 0$ , 则 f/g在 $z_{0}$ 点是全纯的，且

$\displaystyle ( f/g )^{'}= \frac{f ^{'}g - fg^{'}}{g^{2}}$ 。

此外，若 f : Ω ⟶ U 以及 g : U ⟶ ℂ 是全纯的，则对于任意的 z∈Ω，有下列链式法则：

( g ⚬ f )’(z) = g ’(f (z)) f ’(z) 。

2.2.1 作为映射的复值函数(Complex-valued functions as mappings)

现在，我们来厘清复数和实数导数之间的关系。事实上，上述第三个例子应当已经使读者明白，复可微的概念完全不同于通常的2个实变量的函数的实可微的概念。事实上，按照实变量法则，函数 $f(z)=\overline{z}$ 对应映射 F: (x , y) ⟼ (x , -y) ,在实数的意义上，它是可微的。它在某一点的导数是由 Jacobi 矩阵(坐标函数的偏导数的2×2矩阵)给出的线性映射。实际上，F是线性的，因此，在每一点等于其导数。这意味着，F事实上是无限可微的。特别是，实导数的存在并不确保复函数 f 是全纯的。

这个例子将我们引向更一般的关联，即将每个复函数 $f = u + iv$ 与映射 $F(x, y)=(u(x,y),v(x,y))$ 从 $\mathbb{R}^{2}$ 到 $\mathbb{R}^{2}$ 关联起来。

我们记得，对于函数 $F(x, y)=(u(x,y),v(x,y))$ ,若在某一点 $P_{0} = ( x_{0} , y_{0 })$ 存在一个线性变换 $J : \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$ ，使得

(3) $\displaystyle \frac{|F(P_{0}+h)-F(P_{0})-J(H)|}{|H|} \rightarrow 0$ (当 |H |⟶ 0 ， $H \in \mathbb{R}^{2}$ 时 )，

则我们称函数 F 在 $P_{0}$ 点可微。

我们可以写成等价形式

$F(P_{0} + H ) - F(P_{0}) = J( H ) + |H|\psi(H)$ ，

且随着|H |⟶ 0 有 |ψ(H)| ⟶ 0 。线性变换J是唯一的，并被称为 F 在 $P_{0}$ 点的导数。若F 可微，则 u 和v 的偏导数存在，并且这个线性变换 J 按照 $\mathbb{R}^{2}$ 的标准基用 F 的Jacobi 矩阵描述为

$J = J_{F}( x , y ) = \begin{pmatrix} \partial u/ \partial x &\partial u/ \partial y \\[0.2cm]\\ \partial v/ \partial x &\partial v/ \partial y \end{pmatrix}$ 。

在复数可微的情况下，这个导数是一个复数 $f^{'}(z_{0})$ ，而在实数的情况下，它是一个矩阵。然而，在这两个概念之间存在一种关联。这种关联由按照Jacobi矩阵的列值(entries)所满足的特殊关系(即，u 和v 的偏微分)所给出。为了求得这些关系，在(1)在考虑极限，首先考虑h是实数的情况(比如， $h = h_{1} + ih_{2}$ 且 $h_{2} = 0$ )。则，若我们记为 $z = x + iy$ ， $z_{0} = x_{0} + iy_{0}$ ，且 $f (z) = f (x , y )$ , 我们求得

$\begin{array}{rl}f^{'}(z_{0}) &=\frac{\displaystyle \lim_{h_{1}\rightarrow 0} f(x_{0}+h_{1},y_{0})-f(x_{0},y_{0})}{\displaystyle h_{1}}\\ &\displaystyle=\frac{\partial f}{\partial x}z_{0} \end{array}$ ，

其中，∂/∂x 表示通常的以x为自变量的偏微分。(我们固定 $y_{0}$ 并将f 视为单实变量x的复值函数。) 现在，取h为纯虚数(比如，取 $h = ih_{2}$ )，类似的论证便产生

$\begin{array}{rl}f^{'}(z_{0}) &=\frac{\displaystyle \lim_{h_{2}\rightarrow 0} f(x_{0}+h_{2},y_{0})-f(x_{0},y_{0})}{\displaystyle h_{2}}\\ &\displaystyle=\frac{1}{i}\frac{\partial f}{\partial y}(z_{0}) \end{array}$ ，

其中，∂/∂y 表示通常的以y为自变量的偏微分。因此，若f是全纯的，我们已经证明了

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{i}\frac{\partial f}{\partial y}$ 。

记 $f = u + iv$ ，我们在分离实部和虚部并利用 $1/i = -i$ 之后，发现f 和v的偏微分存在，并且它们满足下面的非平凡关系(non-trivial relations)

$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$ 及 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial v}{\partial x}$ 。

以上是Cauchy-Riemann 方程，其与实分析和复分析都有关系。

我们可以定义两个微分算子对这种情况进行进一步的分类：

$\displaystyle \frac{\partial }{\partial z}=\frac{1}{2}\left (\frac{\partial }{\partial x}+\frac{1}{i}\frac{\partial }{\partial y} \right )$ 和 $\displaystyle \frac{\partial }{\partial \overline{z}}=\frac{1}{2} \left ( \frac{\partial }{\partial x}-\frac{1}{i}\frac{\partial }{\partial y} \right )$ 。

命题 2.3 若 f 在 $z_{0}$ 点是全纯的，则

$\displaystyle \frac{\partial }{\partial z}(z_{0})=0$ 且 $\displaystyle f^{'}(z_{0})=\frac{\partial f}{\partial z}(z_{0})=2\frac{\partial u}{\partial z}(z_{0})$ 。

此外，如果我们记 F(x, y)= f (z)，则 F在实变量的意义上是可微的，并且

$\det J_{F}( x_{0}, y_{0} ) = |f^{'}(z_{0})|^{2}$ 。

证明：

取实部和虚部，容易看出，Cauchy-Riemann 方程等价于 $\partial f/\partial\overline{z}=0$ 。此外，根据我们前面的观察

$\begin{array}{rl}f^{'}(z_{0})&=\displaystyle \frac{1}{2}\left (\frac{\partial f}{\partial x}(z_{0}) +\frac{1}{i}\frac{\partial y}{\partial y}(z_{0}) \right ) \\[0.2cm]\\ &\displaystyle=\frac{\partial f}{\partial z}(z_{0}) \end{array}$ ，

以及 Cauchy-Riemann 方程给出 ∂f /∂y = 2∂u /∂z 。为了证明F是可微的，注意分析这个现象即足够，即当 $H = (h_{1 }, h_{2})$ 和 $h = h_{1} + ih_{2}$ ，则 Cauchy-Riemann 方程意味着

$J_F( x_{0} , y_{0} )(H) = \displaystyle \left ( \frac{\partial u}{\partial x}-i \frac{\partial u}{\partial y} \right )(h_{1}+ih_{2})=f^{'}(z_{0})(h)$ ，

其中，我们将复数与实部和虚部对(pair)关联起来，应用Cauchy-Riemann 方程之后，上述结果意味着

(4) $J_F( x_{0} , y_{0} )(H) = \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial v}{\partial y} - \frac{\partial v}{\partial x} \frac{\partial u}{\partial y}= \left ( \frac{\partial u}{\partial x}\right )^{2}+\left ( \frac{\partial u}{\partial y}\right )^{2}=\left |2\frac{\partial u}{\partial z} \right |^{2}=\left | f^{'}(z_{0}) \right |^{2}$ 。

到目前为止，我们已经假设f是全纯的，并推导出其实部和虚部满足的关系。下一个定理包含一个重要的反推，它完成了这里提出的思想闭环(circle)。

定理 2.4 设 f = u + iv 是一个定义在开集 Ω 上的复数值函数。若 u 和 v 在Ω上连续可微且满足Cauchy-Riemann方程，则 f 在Ω上是全纯的，且 f ’(z) = ∂f /∂z 。

证明：

记

$u(x + h_{1}, y + h_{2}) - u(x, y) = \frac{\partial u}{\partial x}h_{1} + \frac{\partial u}{\partial y}h_{2} + |h|\psi_{1}(h)$

和

$v(x + h_{1}, y + h_{2}) - u(x, y) = \frac{\partial v}{\partial x}h_{1} + \frac{\partial v}{\partial y}h_{2} + |h|\psi_{2}(h)$

其中，随着 |h| 趋近于 0 且 $h = h_{1} + ih_{2}$ 而 $\psi_j(h) \rightarrow 0$ (对于j = 1,2 ) 。使用 Cauchy-Riemann方程我们求得

$f ( z + h ) - f ( z ) = \left ( \frac{\partial u}{\partial x}-i\frac{\partial u}{\partial y} \right )(h_{1}+ih_{2})+|h|\psi(h)$ ，

其中，随着 |h| ⟶ 0 而 $\psi(h) = \psi_1(h) + \psi_2(h) \rightarrow 0$ 。因此，f 是全纯的且

$\displaystyle f^{'} (z) = 2\frac{\partial u}{\partial z} = \frac{\partial f}{\partial z}$ 。

2.3 幂级数(Power series)

幂级数的主要例子是复指数函数，对于 z∈ℂ ，定义为

$\displaystyle e^{z}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n}}{n!}$ 。

当 z 是实数的时候，这个定义与惯常的定义一致。且事实上，上述级数对每一个 z∈ℂ 绝对收敛。为了理解这一点，注意到

$\displaystyle \left | \frac{z^{n}}{n!} \right | = \frac{|z^{n}|}{n!}$ ，

因此， $|e^{z}|$ 可对比于级数 $\sum |z|^{n}/n!=e^{|z|}<\infty$ 。实际上，这个计算证明了这个定义 $e^{z}$ 在ℂ中的每一个圆盘中都收敛。

在本节中，我们将证明 $e^{z}$ 在整个ℂ中都是全纯的(整函数)，并证明其导数可通过对级数逐项微分而求得。因此，

$\displaystyle e^{z}{'}=\sum_{n=0}^{\infty}n\frac{z^{n-1}}{n!}=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{z^{m}}{m!}=e^{z}$ ，

所以， $e^{z}$ 的导数是其自身。

相比之下，等比级数(geometric series)

$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}z^{n}$

仅在圆盘 | z | < 1 中绝对收敛，且在这种情况下，其和为 1/(1- z)，这个和式在开集 ℂ - {1} 上是全纯的。这个恒等式的证明与z为实数时的情况完全相同：我们首先注意到

$\displaystyle \sum_{n=0}^{N}z^{n}=\frac{1-z^{n+1}}{1-z}$ ,

然后注意到，当 | z | < 1 时，我们一定有 $\displaystyle \lim_{N \rightarrow \infty}z^{n+1}=0$ 。

通常，一个复幂级数是一个形如

(5) $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$

的展开式，其中， $a_{n}\in \mathbb{C}$ 。为了验证这个级数的绝对收敛性，我们必须考察

$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}|a_{n}||z|^{n}$ ,

我们观察到，若级数(5)对某点 $z_{0}$ 绝对收敛，则对于圆盘上所有 $| z |\leq|z_{0}|$ 的点它也将收敛。现在我们来证明，总是存在一个在其上这个幂级数绝对收敛的圆盘(可能为空)。

定理 2.5 已经一个幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$ ，存在 0 ≤ R ≤ ∞ ，使得：

( i ) 若 | z | < R ,则级数绝对收敛。

( ii ) 若 | z | > R ,则级数发散。

此外，如果我们使用约定 1/0 = ∞ 和 1/∞ = 0 ，则 R 由Hadamard公式

$1/ R = \lim \sup |a_{n} |^{1/n}$ 。

实数 R 称为级数的收敛半径(radius of convergence)，而域| z |< R 称为收敛圆盘。特别地，在指数函数的情况下，我们有 R = ∞ ，且对于等比级数的情况，R = 1 。

证明：

令 L = 1/R ，其中，R按这个公理的描述所定义，且 R ≠ 0 , ∞ 。(这两种简单的情况留作练习。) 若 | z |< R ，选取足够小的 ε > 0 使得

$( L + |\epsilon| )| z | = r < 1$ 。

根据这个 L 的定义，对于任意大的 n，我们有 $|a_{n}|^{1/n} \leq L + \epsilon$ ，因此，

$|a_n||z|^{n}\leq {(L+\epsilon)|z|}^{n} = r^{n }$ 。

与等比级数 $\sum r^{n}$ 对比，证明了 $\displaystyle \sum a_{n}z^{n}$ 收敛。

若 | z| > R ，则一个类似的论据证明，在这个级数中存在一系列项，它们的绝对值趋近于无穷大，因此，级数发散。

评注：

在收敛圆盘的边界| z| = R 上，情况更为微妙，要么收敛，要么发散。(参见练习 19 。)

更多幂级数在整个复平面上收敛的例子可由标准三角函数(standard trigonometric functions)给出；它们分别被定义为

$\displaystyle \cos(z) = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{z^{2n}}{(2n)!}$ 和 $\displaystyle \sin(z) = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}$ ,

且只要 z ∈ ℝ ,则它们与常规的实参正弦和余弦函数一致。一个简单的计算表明了这两个函数与复指数函数之间存在的关联，即，

$\displaystyle \cos(z)=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$ 和 $\displaystyle \sin(z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$ 。

以上称为正弦函数和余弦函数的Euler公式。

幂级数提供了一个非常重要且操控特别简单的分析函数类。

定理 2.6 幂级数 $\displaystyle f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}na_{n}z^{n}$ 在其收敛圆盘上定义了一个全纯函数。通过对 f 逐项微分这个级数而获得的f 的微分，即，

$\displaystyle f^{'}(z)=\sum_{n=0}^{\infty}na_{n}z^{n-1}$ ,

仍然是一个幂级数。此外，f ’ 具有与f 同样的收敛半径。

证明：

关于f 的收敛半径的这个论断可从Hadamard公式推导出。事实上， $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}n^{(1/n)}=1$ ，所以

$\lim \sup |a_{n}|^{(1/n)} = \lim \sup |na_{n}|^{1/n}$ ，以致于 $\sum a_{n}z^{n}$ 和 $\sum na_{n}z^{n}$ 具有相同的收敛半径，因此， $\sum a_{n}z^{n}$ 和 $\sum na_{n}z^{n-1}$ 也是如此。

为了证明第一个论断，我们必须证明级数

$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} na_{n}z^{n-1}$

给出了函数 f 的导数。为此，令 R 表示 f 的收敛半径，并假设 $|z_{0}| < r < R$ 。记作

$f ( z ) = S_{N}(z) + E_{N}(z)$ ，

其中，

$S_{N}(z) =\displaystyle \sum_{n=0}^{N} a_{n}z^{n}$ 和 $E_{N}(z) =\displaystyle \sum_{n=N+1}^{\infty} a_{n}z^{n}$ 。

则，若选择 h 使得 $|z_{0} + h| < r$ ，我们有

$\displaystyle \frac{f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}-g(z_{0})=\left (\frac{S_{N}(z_{0}+h)-S_{N}(z_{0})}{h}-S_{N}^{'}(z_{0}) \right ) +\\ \left (S_{N}^{'}(z_{0}-g(z_{0}) \right )+\left ( \frac{E_{N}(z_{0}+h)-E_{N}(z_{0})}{h}\right )$ 。

由于 $a_{n} - b_{n} = (a - b)( a^{n-1} + a^{n-2} b + ... + ab^{n-2} + b^{n-1} )$ ，我们看到

$\begin{array}{lr}\displaystyle \left | \frac{E_{N}(z_{0}+h)-E_{N}(z_{0})}{h} \right | \leq \sum_{n=N+1}^{\infty}|a_{n}| \left |\frac{(z_{0}+h)^{n}-z_{0}^{n}}{h} \right | \leq \sum_{n=N+1}^{\infty}|a_{n}| nr^{n-1}\end{array}$ ，

其中，我们用到了事实 $|z_{0}|<r$ 和 $|z_{0}+h|<r$ 。右边的表达式是收敛级数尾，因为 g 在| z | < R 上绝对收敛。因此，已知ε > 0 ，我们可以求得 $N_{1}$ ，使得只要 $N>N_{1}$ 就意味着

$\displaystyle \left | \frac{E_{N}(z_{0}+h)-E_{N}(z_{0})}{h} \right | < \epsilon$ 。

同样，由于 $\displaystyle \lim_{N \rightarrow \infty }S_{N}^{'}(z_{0})=g(z_{0})$ ，我们可以求得 $N_{2}$ ，使得只要 $N>N_{2}$ 就意味着

$\displaystyle \left |S_{N}^{'}(z_{0})-g(z_{0})\right | < \epsilon$ 。

若我们固定 N ，以使得 $N>N_{1}$ 和 $N>N_{2}$ 两者同时成立，则我们可以求得δ > 0 以使得 |h|< δ 就意味着

$\displaystyle \left |\frac{S_{N}(z_{0}+h)-S_{N}(z_{0})}{h}-S_{N}^{'}(z_{0}) \right |< \epsilon$ ,

仅仅因为多项式的导数是通过逐项微分获得的。因此，只要 |h|< δ ，就有

$\displaystyle \left |\frac{f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}-g(z_{0}) \right |< 3\epsilon$ ，

从而推导出定理的定明。

该定理的连续应用产生以下结论。

推论 2.7 (收敛)幂级数在其收敛圆盘上是无限复可微的，并且对其按逐项微分而获得的其更高阶的导数也是(收敛)幂级数。

到目前为止，我们仅处理了中心位于原点的幂级数。更一般地，中心位于 $z_{0} \in \mathbb{C}$ 的幂级数表达式形如

$\displaystyle f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(z-z_{0})^{n}$ 。

现在，函数 f 的收敛圆盘以 $z_{0}$ 为中心，且其收敛半径仍然由Hadamard公式给出。事实上，若

$\displaystyle g(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$ ,

则对 g 进行平移，则可轻易获得 f ，即 f (z) = g (w )，其中 $w = z - z_{0}$ 。在我们对g作合适的平移之后,形成了函数 f，而关于 g 的一切级数特性对于 f 依然成立。特别地，根据链式法则，

$\displaystyle f^{'}(z) = g^{'} (w) =\sum_{n=0}^{\infty} na_{n}(z-z_{0})^{n-1}$ 。

对于一个定义在开集 Ω 上的函数 f ，若在某一点 $z_{0}$ ，存在一个以 $z_{0}$ 为圆心且具有正的收敛半径的幂级数 $\sum a_{n}(z-z_{0})^{n}$ ，使得对于 $z_{0}$ 的领域内的所有z ，都有

$\displaystyle f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}(z-z_{0})^{n}$ ，

则称 f 在 $z_{0}$ 点是可分析的(be analytic)(译注：或可解析的)(或称在 $z_{0}$ 点有一个幂级数展式(power series expansion))。若 f 在Ω中的每一点都具有幂级数展式，则我们称f 在整个开集 Ω 上是可分析的。

根据定理 2.6，Ω上的分析函数也是全纯的。我们在下一章证明的一个深层定理表明，反过来也是成立的：每个全纯函数都是可分析的。因此，我们交替使用术语全纯和解析(译注：分析)。

3 循曲线积分(Integration along curves)

在曲线的定义中，我们区分平面上的一维几何对象(具有方向)及其参数化，参数化是从闭区间到ℂ的映射，不是唯一确定的。

一条参数化曲线是一个函数 z(t)，它将一个闭区间[a ,b]∈ℝ 映射到复平面。我们将对参数化施加规则条件，这些条件总是在本书中发生的情况中得到验证。若 z’(t)存在并且在[a ,b]上连续的，且对于 t ∈[a ,b] 有 z’(t)≠0 ，则我们称参数化曲线z(t)是平滑的(smooth)。在端点 t = a 和 t = b 处，将量 z’(a) 和 z’(b)解释为单侧极限

$\displaystyle z'(a)=\lim_{\begin{array}{lrc} h \rightarrow 0 \\ h>0 \end{array}}{\frac{z(a+h)-z(a)}{h}}$ 和 $\displaystyle z'(b)=\lim_{\begin{array}{lrc} h \rightarrow 0 \\ h<0 \end{array}}{\frac{z(b+h)-z(b)}{h}}$ 。

通常，分别称之为z(t)在a点的左导数和b点的右导数。

类似地，若 z 在[a ,b]上是连续的，并且存在点

$a = a_{0} < a_{1} < ... < a_{n} = b$ ,

则称这条参数化曲线是逐段平滑的(piece-wise smooth),其中，z ( t )在区间 $[a_{k}, a_{k+1}]$ 上是平滑的。特别地，z (t ) 在 $a_{k}$ (k = 1,...,n - 1)处的左导数可能不同于其左导数。

对于两条参数化曲线

$z :[\:a ,b\:] \rightarrow \mathbb{C}$ 和 $\overline{z} :[\:c ,d\:] \rightarrow \mathbb{C}$ ，

若存在一个从 [c ,d ] 到 [a ,b] 的连续可微双射 s ⟼ t(s)使得 t’(s)> 0且

$\displaystyle \tilde{s} = z(t(s))$ ,

则称这两条参数化曲线是等价的(equivalent)。条件 t’(s)> 0 准确地表明了保向性：当 s从c移动到d时，则 t(s)从到a 移动到b 。等价于z(t)的所有参数化曲线族确定了一条平滑曲线(smooth curve) γ⊂ℂ ，即当 t 从 a 移动到 b 时，[a ,b] 在 z 下的图像(image)(译注：指的是合围而成的闭合区域边沿)，方向由 z 给出。我们可以定一条从曲线γ按逆向(以致于 γ 和 $\gamma^{-}$ 组成平面上相同的点)而获得的曲线 $\gamma^{-}$ 。作为 $\gamma^{-}$ 的一个特别的参数化，我们记为 $z^{-} : [\:a ,b\:] \to \mathbb{R}^{2}$ ，定义为

$z^{-}(t) = z(b + a - t)$ 。

此外，也明确了如何定义一条逐段平滑曲线(a piece-wise smooth curve)。点 z(a)和 z(b)称为曲线的端点(end-points)。由于曲线γ携带方向，则很自然地称曲线始于z(a)点并终于z(b)点。

对一条平滑曲线或逐段平滑曲线，若对于其任意参数化表达式，都有 z(a) = z(b),则称这条曲线是闭合的(closed)。最后，若其不是自相交的(self-intersecting),即 z(t) ≠ z(s)(除非 s = t )，则称其是简单曲线(simple curve)。当然，如果曲线一开始便是闭合的，那么只要z(t) ≠ z(s)( 除非 s = t，或 s = a 且 t = b )，则我们称其是简单曲线。

--------------------------------------------图3. 一条闭合的逐段平滑曲线----------------------------------------

为简洁起见，我们将称任何逐段平滑曲线为曲线，因为这些将是我们首先关注的对象。

现在看一个由圆构成的基本例子。考虑以 $z_{0}$ 为圆心以 r 为半径的圆 $C_{r}(z_{0})$ , 定义为集合

$C_{r}(z_0) = \{ z \in \mathbb{C}:| z - z_{0} | = r \}$ 。

正方向(逆时针(counterclockwise)方向)由标准参数化方程

$z(t) = z_0 + re^{it} (t \in [0,2\pi])$

给出。而负方向(时针(clockwise)方向)由标准参数化方程

$z(t) = z_0 + re^{-it} (t \in [0,2\pi])$

给出。在后续章节中，我们将用 C 来表示一个常规正向圆。

研究全纯函数的一个重要工具是函数沿曲线的积分。大致地讲，复分析的一个关键定理指出，若一个函数在一条闭合曲线γ内部是全纯的，则

$\displaystyle \int_{\gamma}f(z)dz = 0$ ,

在下一章，我们的注意力将转向这个定理的一个版本(称为Cauchy定理)。在这里，我们仅需了解积分的必要定义和性质即可。

已知一条ℂ中的由 $z :[\:a ,b\:] \to \mathbb{C}$ 参数化的平滑曲线 γ，以及γ之上的一个连续函数 f ，我们定义 f 沿 γ 的积分为

$\displaystyle \int_{\gamma}f(z)dz = \int_{a}^{b}f(z(t))z^{'}(t)dt$ 。

对于这个定义，为使其有意义，我们必须证明右边的积分独立于γ所选择的参数。比如说，如上

$\tilde{z}$ 是一个等价参数方程。则变量替换和链式法则意味着

$\begin{array}{lrc}\displaystyle \int_{a}^{b}f(z(t))z^{'}(t)dt=\int_{a}^{b}f(z(t(s)))z^{'}(t(s))t^{'}(s)dt=\int_{a}^{b}f(\tilde{z}(s))\tilde{z}^{'}(s)ds \end{array}$ 。

这就定义了f 沿γ的积分是良定义的。

若γ是顺时针平滑的，则f 沿γ的积分只是 f 沿γ的平滑部分的积分和，因此，若 z(t)是如前一样的逐段平滑参数化表达式，则

$\displaystyle \int_{\gamma}f(z)dz = \sum_{k=0}^{n-1}\int_{a_{k}}^{a_{k+1}}f(z(t))z^{'}(t)dt$ 。

按照定义，平滑曲线 γ 的长度(length)是

$\displaystyle \mathrm{length}(\gamma)=\int_{a}^{b}|z^{'}(t)|dt$ 。

正如我们刚才的论证，这个定义也独立于参数化表达式。此外，若γ 仅是逐段平滑的，则其长度是其平滑部分的长度之后。

命题 3.1 曲线上的连续函数的积分满足下列属性：

( i ) 线性性，即，若 α , β ∈ℂ ，则

$\displaystyle \int_{\gamma}(\alpha f (z) + \beta g(z))dz = \alpha \int_{\gamma}f (z)dz + \beta \int_{\gamma}g(z)dz$ 。

( ii ) 若 $\gamma^{-}$ 与 $\gamma$ 具有相反的方向，则

$\displaystyle \int_{\gamma} f (z)dz = -\int_{\gamma^{-}} f (z)dz$ 。

( iii ) 其具有不等式

$\displaystyle \left | \int_{\gamma} f (z)dz \right | \leq \sup_{z \in \gamma}|f(z)|.\mathrm{length}(\gamma)$ 。

证明：

第一个属性可从定义和Riemann积分的线性性质推导出。第二个属性的推导留作练习。对第三个属性，注意到

$\displaystyle \left | \int_{\gamma} f (z)dz \right | \leq \sup_{t \in [a,b]}\left |f(z(t))\right | \int_{a}^{b}\left |z^{'}(t) \right |dt \leq \sup_{z \in \gamma}|f(z)|.\mathrm{length}(\gamma)$ ,

正如所证。

正如我们所称，Cauchy定理指出，一个开集 Ω 上的一条合适的闭合曲线 γ, f 在其之上成为了全纯函数，则

$\displaystyle \int_{\gamma}f(z)dz = 0$ 。

原函数(primitives)的存在首先体现了这种现象。假设f是开集 Ω 上的一个函数。则 f在 Ω 上的原函数 F 在Ω 上是全纯的，且对于任意 z∈Ω 其使得 F ’(z) = f (z) 。

定理 3.2 若一个连续函数 f 在Ω 上具有原函数F ，且 γ 是Ω 上一条始于 $w_{1}$ 而终于 $w_{2}$ 的曲线，则

$\displaystyle \int_{\gamma}f(z)dz = F(w_{2})-F(w_{1})$ 。

证明：

若γ是平滑的，这个证明仅是链式法则积分基础定理的简单应用。事实上，若 $z(t) :[\:a ,b\:] \to \mathbb{C}$ 是 γ 的一个参数化表达式，则 $z(a) = w_{1 }$ ， $z(b) = w_{2 }$ ，我们有

$\begin{array}{rl} \displaystyle \int_{\gamma}f(z)dz &\displaystyle=\int_{a}^{b}f(z(t))z^{'}(t) dt \\[0.2cm]\\ &\displaystyle=\int_{a}^{b}F^{'}(z(t))z^{'}(t) dt \\[0.2cm]\\ &\displaystyle=\int_{a}^{b}\frac{d}{dt}F(z(t))dt \\[0.2cm]\\ &\displaystyle=F(z(b))-F(z(a)) \end{array}$ 。

若 γ 仅是逐段平滑的，则正如我们刚才论证，我们获得了一个套叠式(telescopic)和,我们有

$\begin{array}{rl} \displaystyle \int_{\gamma}f(z)dz &\displaystyle=\sum_{k=0}^{n-1}\left [F(z(a_{k+1}))-F(z(a_{k})) \right ] \\[0.2cm]\\ &\displaystyle=F(z(a_{n}))-F(z(a_{0})) \\[0.2cm]\\ &\displaystyle=F(z(b))-F(z(a)) \end{array}$ 。

推论 3.3 若 γ 是一个开集Ω 上的一条闭合曲线，且f是Ω上的一个连续函数并具有原函数，则

$\displaystyle \int_{\gamma}f(z)dz = 0$ 。

这个结果显然的，因为闭合曲线的端点重合。

例如，f (z) = 1/z 在开集 ℂ - {0} 上没有原函数，因为，若 C 是一个由 $z(t)=e^{it}$ (0 ≤ t ≤ 2π )参数化的单位圆，我们有

$\displaystyle \int_{C}f(z)dz=\int_{0}^{2\pi}\frac{ie^{it}}{e^{it}}dt=2\pi i \neq 0$ 。

在后续章节中，我们将看到这种“无恶意”(innocent)的计算，它提供了一个函数 f 和一条闭合曲线γ 满足 $\int_{\gamma}f(z)dz \neq 0$ 的例子，它居于理论的核心。

推论 3.4 若 f 是一个区域 Ω 上的全纯函数并且 f ’ = 0，则 f 是常量。

证明：

固定一点 $w_{0}\in \Omega$ 。对于所有ω∈Ω ，足以证明 $f(w)=f(w_{0})$ 。

因为Ω 是连通的，对于任意 ω∈Ω ，存在一条连接 $w_{0}$ 和ω 的曲线γ。由于，无疑 f 是 f ‘ 的一个原函数，我们有

$\displaystyle \int_{\gamma} f^{'}(z)dz = f (w) - f (w_{0})$ 。

根据假设，f ‘ = 0 ,因为左侧的积分是0 ,从而我们推导出预期的 $f(w)=f(w_{0})$

关于记法的评述：

当方便的时候，我们遵循使用记法 f (z ) = O (g(z))，用于表示存在一个常量 C > 0，使得所讨论中的一点的一个领域内的z 满足 | f (z)| ≤ C|g(z)|。此外，当 | f (z)/g(z)| ⟶ 0 时，我们称 f (z) = O(g(z))。我们也用 f (z) ~ g(z) 来表示f (z)/g(z) ⟶ 1 。