3625: [Codeforces Round #250]小朋友和二叉树
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[Submit][Status][Discuss]Description
我们的小朋友很喜欢计算机科学,而且尤其喜欢二叉树。
考虑一个含有n个互异正整数的序列c[1],c[2],...,c[n]。如果一棵带点权的有根二叉树满足其所有顶点的权值都在集合{c[1],c[2],...,c[n]}中,我们的小朋友就会将其称作神犇的。并且他认为,一棵带点权的树的权值,是其所有顶点权值的总和。
给出一个整数m,你能对于任意的s(1<=s<=m)计算出权值为s的神犇二叉树的个数吗?请参照样例以更好的理解什么样的两棵二叉树会被视为不同的。
我们只需要知道答案关于998244353(7*17*2^23+1,一个质数)取模后的值。Input
第一行有2个整数 n,m(1<=n<=10^5; 1<=m<=10^5)。
第二行有n个用空格隔开的互异的整数 c[1],c[2],...,c[n](1<=c[i]<=10^5)。Output
输出m行,每行有一个整数。第i行应当含有权值恰为i的神犇二叉树的总数。请输出答案关于998244353(=7*17*2^23+1,一个质数)取模后的结果。
Sample Input
样例一:
2 3
1 2
样例二:
3 10
9 4 3
样例三:
5 10
13 10 6 4 15Sample Output
样例一:
1
3
9
样例二:
0
0
1
1
0
2
4
2
6
15
样例三:
0
0
0
1
0
1
0
2
0
5HINT
对于第一个样例,有9个权值恰好为3的神犇二叉树:
Source
VFleaKing & pyx1997 感谢wyl8899提供中文翻译
https://www.cnblogs.com/neighthorn/p/6497364.html
利用了二叉树的递归定义,注意空树情况要加一,因为生成函数的$x^0$为$0$,也就是默认了根节点必须有数。
剩下的就是多项式开根和逆元了。
1 #include<cstdio> 2 #include<algorithm> 3 #define rep(i,l,r) for (int i=l; i<=r; i++) 4 typedef long long ll; 5 using namespace std; 6 7 const int N=(1<<18)+100,P=998244353,g=3,inv2=(P+1)/2; 8 int n,x,m,c[N],a[N],f[N],t[N],ib[N],rev[N]; 9 10 int ksm(ll a,int b){ 11 ll res; 12 for (res=1; b; a=(a*a)%P,b>>=1) 13 if (b & 1) res=res*a%P; 14 return res; 15 } 16 17 void DFT(int a[],int n,int f){ 18 rep(i,0,n-1) if (i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]); 19 for (int i=1; i<n; i<<=1){ 20 ll wn=ksm(g,(f==1) ? (P-1)/(i<<1) : (P-1)-(P-1)/(i<<1)); 21 for (int j=0,p=i<<1; j<n; j+=p){ 22 ll w=1; 23 for (int k=0; k<i; k++,w=1ll*w*wn%P){ 24 int x=a[j+k],y=1ll*w*a[i+j+k]%P; 25 a[j+k]=(x+y)%P; a[i+j+k]=(x-y+P)%P; 26 } 27 } 28 } 29 if (f==-1){ 30 int inv=ksm(n,P-2); 31 rep(i,0,n-1) a[i]=1ll*a[i]*inv%P; 32 } 33 } 34 35 void inverse(int a[],int b[],int l){ 36 if (l==1){ b[0]=ksm(a[0],P-2); return; } 37 inverse(a,b,l>>1); 38 int n=1,L=0; while (n<(l<<1))n<<=1,L++; 39 rep(i,0,n-1) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1)); 40 rep(i,0,l-1) t[i]=a[i]; 41 rep(i,l,n-1) t[i]=0; 42 DFT(t,n,1); DFT(b,n,1); 43 rep(i,0,n-1) b[i]=1ll*b[i]*(2-1ll*t[i]*b[i]%P+P)%P; 44 DFT(b,n,-1); 45 rep(i,l,n-1) b[i]=0; 46 } 47 48 void Sqrt(int a[],int b[],int l){ 49 if (l==1) { b[0]=1; return; } 50 Sqrt(a,b,l>>1); 51 int n=1,L=0; while (n<(l<<1)) n<<=1,L++; 52 rep(i,0,n-1) ib[i]=0; 53 inverse(b,ib,l); 54 rep(i,0,n-1) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1)); 55 rep(i,0,l-1) t[i]=a[i]; 56 rep(i,l,n-1) t[i]=0; 57 DFT(t,n,1); DFT(b,n,1); DFT(ib,n,1); 58 rep(i,0,n-1) b[i]=1ll*inv2*(b[i]+1ll*t[i]*ib[i]%P)%P; 59 DFT(b,n,-1); 60 rep(i,l,n-1) b[i]=0; 61 } 62 63 int main(){ 64 freopen("bzoj3625.in","r",stdin); 65 freopen("bzoj3625.out","w",stdout); 66 scanf("%d%d",&n,&m); c[0]=1; 67 rep(i,1,n) scanf("%d",&x),c[x]-=4; 68 rep(i,0,m) if (c[i]<0) c[i]+=P; 69 int len=1; while (len<=m) len<<=1; 70 Sqrt(c,a,len); 71 a[0]++; if (a[0]>=P) a[0]-=P; 72 inverse(a,f,len); 73 rep(i,1,m) printf("%d\n",f[i]*2%P); 74 return 0; 75 }