浅谈Aho-Corasick automaton(AC自动机)

Aho-Corasick automaton是什么？

要学会AC自动机，我们必须知道什么是Trie，也就是字典树。Trie树，又称单词查找树或键树，是一种树形结构，是一种哈希树的变种。典型应用是用于统计和排序大量的字符串（但不仅限于字符串），所以经常被搜索引擎系统用于文本词频统计。

首先我们要知道trie，而且要知道KMP，这样就可以学AC自动机了!

其实AC自动机就是trie和KMP的结合体。主要构建trie后使用KMP的主导思想构建fail边，每次匹配与KMP相似。

下面我们看看如何构造fail边。

fail边就是类似KMP中的next数组，在失配的时候能够指向的地方。

这就是一颗trie树，那么我们应该怎么去连fail边呢？

首先我们知道root的fail边是连向自己的，而且所有与root直接相连的点fail都指向root。

然后每个点，看看自己父亲的fail边指向的位置的点是否有一个与它长的一样的儿子，如果有，那么连上，否则继续找fail边，直到root为止(注意这个过程我们用bfs实现)。所以最终连完的fail边就是这样：

这样我们只需要每一位去匹配就好了。

有人问，怎么匹配：

举个栗子：
用上面的图：

假设原串是：ahershe，这棵trie上有his,her,he,she。
我们从root开始，先查找root点有没有当前字母的儿子a，有那么指针x指到h点上，这样一直匹配；如果没有，那么就直接跳到当前点的fail边上，这样保证前面匹配的全都是相同的，直到有这样的儿子或者已经到了root并且没有这样的儿子为止。
注意每跳一个点就必须从当前点遍历一遍它的fail边直到root的边集，就是说沿着fail边跳一直到root为止，这是为了避免当前点没有被标记，但是在它fail边到达root的路径上有被标记的点。

Exanple

【GDOI2013模拟4】贴瓷砖

Description

A镇的主街是由N个小写字母构成，镇长准备在上面贴瓷砖，瓷砖一共有M种，第i种上面有Li个小写字母，瓷砖不能旋转也不能被分割开来，瓷砖只能贴在跟它身上的字母完全一样的地方，允许瓷砖重叠，并且同一种瓷砖的数量是无穷的。
问街道有多少字母(地方)不能被瓷砖覆盖。

Input

第一行输入街道长度N(1<=N<=300,000)。
第二行输入N个英文小写字母描述街道的情况。
第三行输入M(1<=M<=5000)，表示瓷砖的种类。
接下来M行，每行描述一种瓷砖，长度为Li(1<=Li<=5000)，全部由小写字母构成。

Output

输出有多少个地方不能被瓷砖覆盖。

Sample Input

输入1：

6

abcbab

2

cb

cbab

输入2：

4

abab

2

bac

baba

输入3：

6

abcabc

2

abca

cab

Sample Output

输出1：

2

输出2：

4

输出3：

1

Data Constraint

N(1<=N<=300,000)

Solution

我们把原字符串每一位都进行匹配，然后首先预处理出trie中每一个点对应所有fail边中最大的长度，然后匹配的时候记录下每一位中能够覆盖到的最大长度，最后用线段树维护(当然你可以直接用差分约束)。

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#define mo 1000010
using namespace std;
struct Moon{int fail,num,maxl;}point[4000010];
int son[4000010][27];
int lengt_max[300010],length[300010];
char s[300010],ch[300010];
int len,n,root,sz; 
int d[mo];
int f[300010*4],tag[300010*4];
void make_trie(char s1[300010],int len1,int t,int x,int id)
{if(t>len1) {point[x].num=id;point[x].maxl=length[id];return;}   if(!son[x][s1[t]-96]){son[x][s1[t]-96]=++sz;++son[x][0];make_trie(s1,len1,t+1,sz,id);   }else make_trie(s1,len1,t+1,son[x][s1[t]-96],id);
}
void build_fail()
{int i,x,k,head=0,tail=0;for (i=1;i<=26&&tail<son[root][0];++i)if(son[root][i]) {d[++tail]=son[root][i];point[son[root][i]].fail=root;}while(head!=tail){head=head%mo+1;x=d[head];if(!son[x][0]) continue;for (i=1;i<=26;++i)if(son[x][i]){tail=tail%mo+1;d[tail]=son[x][i];k=point[x].fail;while(k!=root){if(son[k][i]) break;k=point[k].fail;if(k==root&&!son[k][i]) break;}if(son[k][i]) point[son[x][i]].fail=son[k][i];else point[son[x][i]].fail=root;point[son[x][i]].maxl=max(point[son[x][i]].maxl,point[point[son[x][i]].fail].maxl);}}
}
void Check()
{int x=root,k;for (int i=1;i<=len;){if(son[x][s[i]-96]) {x=son[x][s[i]-96];  lengt_max[i]=max(lengt_max[i],point[x].maxl);++i;}   else x=point[x].fail;if(x==root&&!son[x][s[i]-96]) ++i;}
} 
void change(int v,int l,int r,int x,int y)
{if(l==x&&r==y){tag[v]=1;f[v]=r-l+1; return;}int mid=(l+r)/2;if(tag[v]){tag[v*2]=1,f[v*2]=mid-l+1;tag[v*2+1]=1,f[v*2+1]=r-mid;tag[v]=0;}if(y<=mid) change(v*2,l,mid,x,y);else if(x>mid) change(v*2+1,mid+1,r,x,y);else change(v*2,l,mid,x,mid),change(v*2+1,mid+1,r,mid+1,y);f[v]=f[v*2]+f[v*2+1];
}
int main()
{scanf("%d",&len);scanf("%s",s+1);scanf("%d",&n);int i,j;root=sz=point[1].fail=1;for (i=1;i<=n;++i){scanf("%s",ch+1);length[i]=strlen(ch+1);make_trie(ch,length[i],1,root,i);}build_fail();Check();for (i=1;i<=len;++i) if(lengt_max[i]) change(1,1,len,i-lengt_max[i]+1,i);printf("%d\n",len-f[1]);
}