CometOJ#6 双倍快乐（简单DP）

链接：https://www.cometoj.com/contest/48/problem/B

题意：给出一串数列，要求在这个数列中找出两条“不相交”的非下降子序列使得子序列之和最大。“不相交”即不存在任意的ai同时存在于两个子序列中。

分析：笔者刷题量不多，这道题对笔者加深动态规划求子序列的理解很有帮助；题目要求非下降子序列的最大和，这里我们要求的是两条子序列。做题时的第一想法是走两遍DP，先求出一条和最大的子序列，把这条子序列中的元素给剔除，接着再重复该步骤，得到另一条和最大的子序列，最后把两条子序列的和加起来。但是，这种做法是存在后效性的，我们的目的是要求得两条子序列的和最大，如果每次只是单纯的找和最大的子序列，那么很有可能在第一次选元素时就断了使得子序列总和最大的“桥梁”。好比方说：5 4 4 5 4；通过该方案得到的两条序列会是：“4 4 5”、“5”，最终结果是18。但最优的方案其实是：“4 4 4”、“5 5”，结果为22。

　　设dp[i][j]为两条子序列的末端分别为i和j时的子序列和，dp[0][0] = 0;其状态转移方程可以由单个子序列的转移方程推广得到，详见代码部分。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int main() {
    int n;
    scanf("%d",&n);

    int num[n+1];
    num[0] = 0;
    for (int i=1;i<=n;i++) {
        scanf("%d",&num[i]);
    }

    int dp[n+1][n+1];
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    int ans = 0;
    for (int i=1;i<=n;i++) {
        for (int j=0;j<i;j++) {
            if (num[i] >= num[j]) {
                for (int k=0;k<i;k++) {
                    dp[i][k] = max(dp[i][k],dp[j][k] + num[i]);
                    dp[k][i] = max(dp[k][i],dp[k][j] + num[i]);
                    ans = max(ans,max(dp[i][k],dp[k][i]));
                }
            }
        }
    }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}