一阶马尔科夫过程
一阶马尔可夫过程是一个随机过程，它具有这样的特性：系统的下一个状态仅依赖于当前状态，而不依赖于之前的历史状态。这种性质被称为“无记忆性”或马尔可夫性质。在数学上，如果一个过程 { X n } \{X_n\} {Xn}是一阶马尔可夫过程，那么对于所有可能的状态和时间点，它满足以下条件：
P ( X n + 1 = x ∣ X n = x n , X n − 1 = x n − 1 , … , X 0 = x 0 ) = P ( X n + 1 = x ∣ X n = x n ) P(X_{n+1} = x | X_n = x_n, X_{n-1} = x_{n-1}, \ldots, X_0 = x_0) = P(X_{n+1} = x | X_n = x_n) P(Xn+1=x∣Xn=xn,Xn−1=xn−1,…,X0=x0)=P(Xn+1=x∣Xn=xn)
这个条件表明，给定当前状态 { X n } \{X_n\} {Xn}后，下一个状态 { X n + 1 } \{X_{n+1}\} {Xn+1}的概率分布不依赖于除 { X n } \{X_n\} {Xn}之外的任何其他状态。
一阶马尔可夫过程的一个常见例子是简单的随机漫步，其中每一步的方向（如向上或向下）仅由当前位置决定，与之前的路径无关。在自然语言处理中，一阶马尔可夫过程可以用来建模词的序列，其中下一个词的出现仅依赖于前一个词。
在更高级的上下文中，如在处理时间序列或序列数据时，一阶马尔可夫模型可以用来捕捉序列中的局部依赖性，这通常通过状态转移概率来实现，这些概率定义了从一个状态转移到另一个状态的概率。在这些应用中，一阶马尔可夫模型可以用来进行预测、生成序列等。
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