MATLAB - MPC - QP Solvers

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前言

模型预测控制器 QP 求解器将线性 MPC 优化问题转换为一般形式的 QP 问题

${\underset{x}{M i n} } (\frac{1}{2}x^{{T}}H x+f^{{T}}x)$

受到线性不等式约束

$A x\leq b$

其中

x 是解向量。
H 是黑森矩阵。当预测模型和调整权重在运行时不发生变化时，该矩阵保持不变。
A 是线性约束系数矩阵。当预测模型在运行时不发生变化时，该矩阵保持不变。
b 和 f 是向量。

在每个控制区间开始时，控制器会计算 H、f、A 和 b。如果 H 或 A 是常数，控制器会检索它们的预计算值。

一、内置的QP求解器

模型预测控制工具箱 (Model Predictive Control Toolbox™) 软件支持两种解决 QP 问题的内置算法。这两种求解器都要求 Hessian 矩阵为正定（positive definite）矩阵。

主动集求解器（Active-set solver） - 该求解器可以为单精度和双精度的中小型优化问题提供快速、稳健的性能。主动集求解器使用的是 [1] 中的 KWIK 算法。要使用主动集求解器，请将 MPC 控制器的 Optimizer.Algorithm 属性设置为 "主动集"。要配置算法设置，请使用控制器的 Optimizer.ActiveSetOptions 属性。
内部点求解器（Interior-point solver） - 这种求解器可以为大规模优化问题提供卓越的性能，例如在大型预测和控制范围内执行约束的 MPC 应用程序。该内部点求解器使用带有 Mehrotra 预测器-校正器的基元-二元算法。要使用内部点求解器，请将 MPC 控制器的 Optimizer.Algorithm 属性设置为 "内部点"。要配置算法设置，请使用控制器的 Optimizer.InteriorPointOptions 属性。

1.1 求解器配置

在为您的应用选择和配置 QP 求解器时，请考虑以下几点：

MPC 问题的大小和配置会影响内置 QP 求解器的性能。要确定哪种求解器最适合您的应用，请考虑使用两种 QP 求解器在多个仿真场景中对控制器进行仿真。
与主动集求解器相比，内点求解器对求解器参数更为敏感。因此，可能需要进行更多调整，才能在性能和鲁棒性之间找到最佳平衡。
在测试最优解时，主动集求解器也会使用不可调整的公差。您可以调整内点求解器的优化公差。
由于数值舍入误差，一个或多个线性约束可能会受到轻微违反。这种违规是正常的，不会产生警告信息。要调整可接受的约束条件违反容差，请使用主动集求解器或内部点求解器的约束条件容差设置。
搜索 QP 解法是一个迭代过程。对于任一求解器，都可以使用相应的 MaxIterations 设置来指定最大迭代次数。如果迭代次数达到最大值，算法就会终止。
主动集求解器的默认最大迭代次数为 $4(n_{c}+n_{c})$ 其中 nc 和 nv 分别是整个预测范围内的约束条件和优化变量的数量。对于某些控制器配置，该值可能非常大，从而导致 QP 求解器停止响应。该值的下限为 120。
内点求解器的默认最大迭代次数为 50。
如果您的 MPC 问题在转换为 QP 问题后包含硬约束，则 QP 不等式约束可能不可行（无法满足）。如果 QP 求解器检测到不可行，它会立即终止。

当求解器检测到问题不可行或迭代次数达到最大值但未找到最优解时，控制器会保留上次成功的控制输出。更多信息，请参阅 mpcmove（mpcmove）。您可以检测异常结果，并根据需要覆盖默认行为。

在第一个控制步骤中，QP 求解器使用冷启动，初始猜测是无约束模型预测控制中描述的无约束解（Unconstrained Model Predictive Control）。如果 x 满足约束条件，它就是最优 QP 解，算法终止。否则，至少有一个线性不等式约束必须满足相等条件，求解器将计算出最优解。对于后续控制步骤：

主动集求解器使用热启动，上一个控制步骤中确定的主动约束集成为初始猜测。
内点求解器继续使用冷启动。

1.2 自定义 QP 应用程序

要为需要解决在线 QP 问题的应用访问 QP 求解器，可使用 mpcActiveSetSolver 和 mpcInteriorPointSolver 函数，它们在以下方面非常有用：

超出模型预测控制工具箱软件范围的高级 MPC 应用程序。
自定义 QP 应用程序，包括需要生成代码的应用程序。

二、自定义 QP 解算器

模型预测控制工具箱软件可让您为 MPC 控制器指定自定义 QP 求解器。在每个控制区间，该求解器都会被调用，以替代内置求解器。该选项可用于

验证仿真结果或使用您信任的内部第三方求解器生成代码。
内置求解器无法为特定问题提供满意性能的应用。

您可以为仿真或代码生成定义自定义求解器。无论在哪种情况下，您都可以使用自定义函数定义自定义求解器，并将控制器配置为使用该自定义函数。

Task Custom Solver Function Affected MATLAB® Functions Affected Simulink® Blocks

Task	Custom Solver Function	Affected MATLAB® Functions	Affected Simulink® Blocks
Simulation Set `Optimizer.CustomSolver` to `true`. `Optimizer.CustomSolverCodeGen` is ignored.	`mpcCustomSolver.m` Supports: MATLAB code MEX files	`sim` `mpcmove` `mpcmoveAdaptive` `mpcmoveMultiple` `mpcmoveCodeGeneration`	MPC Controller Adaptive MPC Controller Multiple MPC Controllers
Code Generation Set `Optimizer.CustomSolverCodeGen` to `true`. `Optimizer.CustomSolver` is ignored.	`mpcCustomSolverCodeGen.m` Supports: MATLAB code suitable for code generation C/C++ code	`mpcMoveCodeGeneration`

Simulation

Set Optimizer.CustomSolver to true.

Optimizer.CustomSolverCodeGen is ignored.

mpcCustomSolver.m

Supports:

MATLAB code
MEX files

sim
mpcmove
mpcmoveAdaptive
mpcmoveMultiple
mpcmoveCodeGeneration

MPC Controller
Adaptive MPC Controller
Multiple MPC Controllers

Code Generation

Set Optimizer.CustomSolverCodeGen to true.

Optimizer.CustomSolver is ignored.

mpcCustomSolverCodeGen.m

Supports:

MATLAB code suitable for code generation
C/C++ code

mpcMoveCodeGeneration

自定义仿真求解器
要使用自定义 QP 求

2.1 自定义仿真求解器

要使用自定义 QP 求解器模拟 MPC 控制器，请执行以下步骤。

将求解器模板文件复制到工作文件夹或 MATLAB 路径上的任意位置，并将其重命名为 mpcCustomSolver.m。
```
src = which('mpcCustomSolver.txt')；
dest = fullfile(pwd,'mpcCustomSolver.m')；
copyfile(src,dest,'f')；
```
修改 mpcCustomSolver.m，添加自己的自定义求解器。您的求解器必须能在 MATLAB 中运行，并在 MATLAB 脚本或 MEX 文件中实现。
配置 MPC 控制器 mpcobj 以使用自定义求解器。
```
mpcobj.Optimizer.CustomSolver = true；
```
模拟控制器。更多信息，请参阅仿真（Simulation）。

有关示例，请参阅使用自定义 QP 求解器模拟 MPC 控制器（Simulate MPC Controller with a Custom QP Solver）。

三、将 quadprog 用作自定义 QP 求解器

可以将 MPC 对象配置为使用 quadprog（优化工具箱）函数提供的活动集求解器作为自定义 QP 求解器。

要自动配置 MPC 对象 mpcobj 在仿真和代码生成中使用 quadprog 作为自定义 QP 求解器，可以使用 setCustomSolver 函数。具体来说，在 MATLAB 命令提示符下输入以下内容。

setCustomSolver(mpcobj,'quadprog')

该命令将在当前文件夹下生成 mpcCustomSolver.m 和 mpcCustomSolverCodeGen.m 文件，它们在内部调用 quadprog（优化工具箱）。然后将 mpcobj.Optimizer.CustomSolver 和 mpcobj.Optimizer.CustomSolverCodeGen 设置为 true。
您还可以进一步自定义这些功能，例如调整求解器选项，前提是您使用的是 active-set 求解器（因为 MPC 问题不支持其他 quadprog 求解器）。

要将 mpcobj 恢复为使用 mpcobj.Optimizer.Algorithm 中指定的内置算法进行仿真和代码生成，请调用 setCustomSolver，具体如下。

setCustomSolver(mpcobj,'quadprog')

此命令将 mpcobj.Optimizer.CustomSolver 和 mpcobj.Optimizer.CustomSolverCodeGen 设置为 false。

四、与 FORCESPRO 仿真器积分器集成

您可以使用由 Embotech AG 开发的实时嵌入式优化软件工具 FORCESPRO，为使用模型预测控制工具箱软件设计的 MPC 控制器进行仿真并生成代码。从 FORCESPRO 2.0 开始，Embotech 提供了一个插件，利用模型预测控制工具箱软件的设计功能和 FORCESPRO 的计算性能。使用该插件，您可以生成一个自定义 QP 求解器，该求解器允许部署在实时硬件上，并根据您的特定 MPC 问题进行了高度优化，以达到令人满意的实时性能。尤其是长跨度 MPC 问题可以得到非常高效的解决。

有关将 FORCESPRO 求解器与模型预测控制工具箱软件结合使用的信息，请参阅 "使用 Embotech FORCESPRO 求解器实施 MPC 控制器"。