这几天都在抽空学OpenGL、敲leetcode和看games，这里留点笔记给以后复习

games101第一节课在吹水，第二节课讲了线性代数的入门知识，比较简单，这里稍微回顾一下重点，然后开始讲第三节课的二维变换和齐次坐标

目录

向量

向量的点乘

向量的叉乘

​二维变换

缩放

拉伸

旋转

平移

齐次坐标

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向量

games101的向量是默认列向量

向量的点乘

向量的点乘就是对应的元素相乘

这个可以用来求向量之间的夹角，特别是当两个向量都是单位向量的时候，它们夹角的余弦值就是两个向量点乘的结果

向量的叉乘

两个向量叉乘的结果是这样的一个向量：方向与两个向量垂直，按右手系是从a旋转到b大拇指指向的方向，大小是两个向量的长度和夹角正弦值的乘积

坐标系的话，games101用的是右手系，OpenGL用的也是右手系，但是unity和ue都是左手系

叉乘可以用来判断一个点是否在一个多边形内部，如下P点，如果AP×AB和BP×BC和CP×CA的方向是一样的，那么这个P点就在三角形内部

二维变换

缩放

对于一个图形进行缩放，实际上就是对于每一个点的坐标进行缩放，比如缩小一半，就是x和y都变成原来的一半，这个没有什么问题

更方便的统一操作，我们可以用一个矩阵乘法来表示缩放这个操作，x和y都乘以s

x和y不同程度的拉伸

对称变换

拉伸

往某个方向拉伸，比如x方向，y不变，x’=x+ay

旋转

逆时针旋转，这个可以通过固定两个顶点来推出这个变换矩阵

平移

对于平移，即x和y加上对应的平移量

齐次坐标

其实你可能已经发现，在变换中，缩放、拉伸和旋转都可以用一个矩阵乘法来表示，这三个变换又可以称为线性变换，唯独平移不可以用矩阵乘法表示（我尝试过了，真不行）

齐次坐标就是解决这个问题的，可以统一变换为一个矩阵乘法形式

解决办法：通过增加一个维度来表示，第三个维度为1表示这是个点，第三个维度为0表示这是个向量，这样就可以通过三维矩阵乘法来表示平移变换了

这样子的话，那么两个向量相加是向量，两个点相减是向量，一个点加上一个向量还是一个点

那么点加点呢？

实际上还是点，而且是这两个点的中点，因为点，确切的表示是这个：

因此通过齐次坐标，我们就可以统一变换为矩阵乘法形式

由于矩阵乘法的规律，所以多次变换是以矩阵左乘的顺序相乘的，而且是先进行线性变换再平移