二阶变系数线性微分方程

二阶变系数线性微分方程

news/2024/11/24 3:51:12/文章来源:https://blog.csdn.net/scdn1172/article/details/134776807

1、变量替换法

欧拉方程

$a_{0}x^{n}\frac{d^{n}y}{d^{n}x}+a_{1}x^{n-1}\frac{d^{n-1}y}{d^{n-1}x}+.......a_{n-1}x\frac{dy}{dx}+a_{n}y=f(x)$

$a_{0},a_{1},.....a_{n}$ 是常数， $f(x)$ 是已知的函数。

二阶欧拉方程

$a_{0}x^{2}\frac{d^{2}y}{d^{2}x}+a_{1}x\frac{dy}{dx}+a_{3}y=f(x)$ (1)

当 $x>0$ 时，令 $x=e^{t}$ ,则 $t=lnx$

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}=\frac{dy}{dt}\frac{1}{x}$

$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{d^{2}y}{dt^{2}}\frac{dt}{dx}=\frac{dy}{dt}\frac{1}{x}+\frac{dy}{dt}\frac{-1}{x^{2}}=(\frac{dy}{dx}-\frac{dy}{dt})\frac{1}{x^{2}}$

代入（1）中，

$a_{0}\frac{d^{2}y}{dt^{2}}-a_{0}\frac{dy}{dt}+a_{1}\frac{dy}{dt}+a_{2}y=f(e^{t})$

$a_{0}\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+(a_{1}-a_{0})\frac{dy}{dt}+a_{2}y=f(e^{t})$ .这样就把欧拉方程，化成了二阶常系数非齐次微分方程

当x<0时，令 $x=-e^{t}$ , $t=ln(-x)=ln|x|$

$a_{0}\frac{d^{2}y}{dt^{2}}-a_{0}\frac{dy}{dt}+a_{1}\frac{dy}{dt}+a_{2}y=f(-e^{t})$

例题

$x^{2}\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+x\frac{dy}{dt}=6lnx-\frac{1}{x}$

解:令 $x=e^{t}$ ,则 $t=lnx$

代入上面的推导得

$\frac{d^{2}y}{dt^{2}}=6t-e^{-t}$

$\frac{dy}{dt}=3t^{2}+e^{-t}+C_{1}$

$y=t^{3}-e^{-t}+C_{1}t+C_{2}$

所以

$y=(lnx)^{3}-\frac{1}{x}+C_{1}lnx+C_{2}$

2、降阶法

$\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+p(x)\frac{dy}{dt}+q(x)y=0$ （1）

齐次线性微分方程都是有解的

设(1)有一个已经的非零解 $y_{1}$ ，

令y= $y_{1}$ u,其中u=u(x)是一个待定函数。

则 $y^{'}=y^{'}_{1}u+y_{1}u^{'}$

$y^{''}=y^{''}_{1}u+2y^{'}_{1}u^{'}+y_{1}u^{''}$

代入（1）

$y_{1}u^{''}+(2y^{'}_{1}+py_{1})u^{'}+(y^{''}_{1}+py^{'}_{1}+qy_{1})u=0$

因为 $y_{1}$ 是解，代入(1)中，公式恒成立，所以

$y^{''}_{1}+py^{'}_{1}+qy_{1}=0$ 成立

所以

$y_{1}u^{''}+(2y^{'}_{1}+py_{1})u^{'}=0$

转换成一个以u为函数，x自变量的二阶微分方程。

阶数没有阶，再次引入新的变量

令 $z=u^{'}$

$y_{1}\frac{dz}{dx}=-(2y^{'}_{1}+py_{1})z$

转换成一个以z为函数，x自变量的一阶可分离变量方程。

$\frac{dz}{z}=-2\frac{dy_{1}}{y_{1}}-pdx$

两边求积分

$ln|z|=-2ln|y_{1}|-\int p(x)dx+ln|C_{2}|$

$ln|z|=ln|\frac{1}{y_{1}^{2}}|-lne^{-\int p(x)dx}+ln|C_{2}|$

$z=\frac{C_{2}}{y^{2}_{1}}e^{-\int p(x)dx}$ z=0 也是解，即 $C_{2}=0$ 的情形

所以 $u=C_{1}+C_{2}\int \frac{1}{y^{2}_{1}}e^{-\int p(x)dx}$

所以(1)的通解为 $y=y_{1}[C_{1}+C_{2}\int \frac{1}{y^{2}_{1}}e^{-\int p(x)dx}]$

刘维尔公式

本文来自互联网用户投稿，该文观点仅代表作者本人，不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务，不拥有所有权，不承担相关法律责任。如若转载，请注明出处：http://www.mzph.cn/news/196167.shtml

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符，请联系多彩编程网进行投诉反馈email:809451989@qq.com，一经查实，立即删除！

相关文章

上海展会会议如何做好媒体宣传？

上海展会会议如何做好媒体宣传？

传媒如春雨，润物细无声，大家好，我是51媒体网胡老师。要做好上海展会会议的媒体宣传，可以采取以下几个步骤： 1.明确宣传目标和受众：首先，明确宣传的主要目标和目标受众。了解受众的喜好和习惯…

阅读更多...

希宝猫罐头怎么样？专业人士告诉你营养好的猫罐头推荐

希宝猫罐头怎么样？专业人士告诉你营养好的猫罐头推荐

作为一个6年铲屎官来说，买过的猫罐头可以说是不计其数啦。对于猫罐头品牌选购和喂养相关知识，我还是有点心得的。希宝猫罐头怎么样呢？ 希宝猫罐头采用了先进的加工工艺，注重产品的包装和密封性，包装设计比较符合年轻人…

阅读更多...

Wnmp本地搭建结合内网穿透实现远程访问本地Wnmp服务

Wnmp本地搭建结合内网穿透实现远程访问本地Wnmp服务

文章目录前言1.Wnmp下载安装2.Wnmp设置3.安装cpolar内网穿透3.1 注册账号3.2 下载cpolar客户端3.3 登录cpolar web ui管理界面3.4 创建公网地址 4.固定公网地址访问正文开始前给大家推荐个网站，前些天发现了一个巨牛的人工智能学习网站， 通俗易懂&a…

阅读更多...

使用 PHPMailer 实现邮件的实时发送

使用 PHPMailer 实现邮件的实时发送

💂 个人网站:【海拥】【神级代码资源网站】【办公神器】🤟 基于Web端打造的：👉轻量化工具创作平台💅 想寻找共同学习交流的小伙伴，请点击【全栈技术交流群】今天我们利用GitHub上20K星星的项目 PHPMailer…

阅读更多...

知虾主页：为商家和市场分析师提供的数据分析工具

知虾主页：为商家和市场分析师提供的数据分析工具

知虾是专为Shopee（虾皮购物）平台而设计的数据分析工具，为商家和市场分析师提供了丰富的功能和信息。本文将介绍知虾主页上的各项功能，并详细解释如何利用这些功能来分析市场趋势、产品分析和竞争对手分析等方面的数据。无论您是新…

阅读更多...

aidegen：为AOSP代码中Java和C / C ++项目自动生成ide配置

aidegen：为AOSP代码中Java和C / C ++项目自动生成ide配置

aidegen：为AOSP代码中Java和C / C 项目自动生成ide配置 aosp中模块众多，依赖复杂，如何快速完成ide配置，从而能愉快地在ide中进行代码的导航和跳转是我们需要解决的问题，好在google给我们提供了一款好用的ide配置生成工…

阅读更多...

【android开发-14】android中fragment用法详细介绍

【android开发-14】android中fragment用法详细介绍

1，fragment是什么？ Fragment是Android中的一种组件，它在Android 3.0（API级别11）及以后的版本中引入。Fragment可以用来在Activity中添加一个或多个具有自己的用户界面的片段。它们可以与Activity进行交互，并…

阅读更多...

ubuntu离线安装包下载和安装

ubuntu离线安装包下载和安装

一、确认本机ubuntu的发行版本方法1: rootac810:/home/ac810/alex# lsb_release -a No LSB modules are available. Distributor ID: Ubuntu Description: Ubuntu 20.04.6 LTS Release: 20.04 Codename: focal 方法2: rootac810:/home/ac810/alex# cat /…

阅读更多...

Taro 学习教程 - - - - - 开发环境的安装 helloworld

Taro 学习教程 - - - - - 开发环境的安装 helloworld

一、Taro脚手架安装 npm install tarojs/cli -g // or yarn add tarojs/cli -g // or cnpm install tarojs/cli -g1.1 如何判断taro安装成功 taro -v正常安装成功之后显示如图： 1.2 环境变量配置(自行判断是否需要手动配置) 如果遇到如下问题，则是需要…

阅读更多...

EasyV不止可视化｜易知微带你打开可视化工具新大门！

EasyV不止可视化｜易知微带你打开可视化工具新大门！

可视化工具的发展已经成为当今信息技术领域中的一股不可忽视的力量。如今，人们有了更多的数据和信息需要处理，因此需要一种更加高效、更加直观的手段来呈现这些信息，而可视化工具应运而生。这些工具包括多种类型的图表、地图、仪表板等。随着…

阅读更多...

MySQL核心知识点整理大全1-笔记

MySQL核心知识点整理大全1-笔记

目录 MySQL 一、MySQL的基本概念 1.数据库 2.表 3.列 4.行 5.主键 6.索引二、MySQL的安装与配置 1.下载MySQL安装包 2.安装MySQL 3.启动MySQL 4.配置MySQL a.设置监听端口和IP地址 b.设置数据存储路径 c.设置字符集和排序规则 5.测试MySQL 三、MySQL的基本操…

阅读更多...

机器学习深度学学习分类模型中常用的评价指标总结记录与代码实现说明

机器学习深度学学习分类模型中常用的评价指标总结记录与代码实现说明

在机器学习深度学习算法模型大开发过程中，免不了要对算法模型进行对应的评测分析，这里主要是总结记录分类任务中经常使用到的一些评价指标，并针对性地给出对应的代码实现，方便读者直接移植到自己的项目中。【混淆矩阵】混淆矩阵…

阅读更多...

FreeRTOS-软件定时器

FreeRTOS-软件定时器

软件定时器在FreeRTOS中可以设置无数个软件定时器，都是基于系统滴答中断。使用软件定时器需要指定时间：启动定时器和运行回调函数。启动定时器和运行回调函数的间隔为定时器的周期。使用软件定时器需要指定类型：一次性（回调函数…

阅读更多...

逆天营销！“保温杯”免费送，月赚600万的秘密大揭露！

逆天营销！“保温杯”免费送，月赚600万的秘密大揭露！

导语：听说过“免费送”的商业模式吗？现实中就有这样的案例，有人通过“保温杯免费送”的策略，一个月内狂赚600万！你一定想知道这是怎么做到的吧？本文将为你揭示这个神秘商业模式的奥秘！ 一、疯狂…

阅读更多...

java--抽象类的常见应用场景：模板方法设计模式

java--抽象类的常见应用场景：模板方法设计模式

1.模板方法设计模式解决了什么问题？ ①解决方法中存在重复代码的问题。 2.模板方法设计模式的写法 1、定义一个抽象类。 2、在里面定义2个方法 ①一个是模板方法：把相同代码放里面去。 ②一个是抽象方法：具体实现交给子类完成。分析&…

阅读更多...

PyQt6 QFontComboBox字体组合框控件

PyQt6 QFontComboBox字体组合框控件

锋哥原创的PyQt6视频教程： 2024版 PyQt6 Python桌面开发视频教程(无废话版) 玩命更新中~_哔哩哔哩_bilibili2024版 PyQt6 Python桌面开发视频教程(无废话版) 玩命更新中~共计35条视频，包括：2024版 PyQt6 Python桌面开发视频教程(无废话…

阅读更多...

webpack学习-1.起步

webpack学习-1.起步

webpack学习-1.起步 1.基础设置2.配置文件的引入3.总结 1.基础设置首先 webpack是干嘛的呢，用官网的一张图 Webpack 是一个现代的静态模块打包工具。它主要用于将前端应用程序中的各种资源（例如 JavaScript、CSS、图片等）打包成一个或多个…

阅读更多...

HTML CSS JavaScript的网页设计

HTML CSS JavaScript的网页设计

一、网页界面效果： 二、HTML代码： <!DOCTYPE html>  <html lang"en"> …

阅读更多...

HarmonyOS/OpenHarmony应用开发

HarmonyOS/OpenHarmony应用开发

OpenHarmony是由开放原子开源基金会(OpenAtom Foundation)孵化及运营的开源项目, 目标是面向全场景、全连接、全智能时代, 搭建一个智能终端设备操作系统的框架和平台, 促进万物互联产业的繁荣发展。了解OpenHarmony HarmonyOS是华为通过OpenHarmony项目，结合商业…

阅读更多...

java--接口概述

java--接口概述

1.认识接口 ①java提供了一个关键字interface，用这个关键字我们可以定义出一个特殊的结构：接口。 ②注意：接口不能创建对象；接口是用来被类实现(implements)的，实现接口的类称为实现类。 ③一个类可以实现多个接口(接…

阅读更多...

推荐文章

最新文章