算法通关村第七关—理解递归(青铜)

理解递归

一、递归的特征

1.执行范围不断缩小

递归类似数学里的递推，设计递归就是努力寻找数学里的递推公式，例如阶乘的递推公式就是f()=n*f(n-1),很明显一定是要触底之后才能反弹。再比如斐波那契数列的递归公式为f(n)=f(n-1)+f(n-2),n也在不断缩小。这条规律可以辅助我们检查自己写的递推公式对不对。

2.终止条件在递归调用的前面

递归之后可能还有终止条件，但是在执行递归之前，一定会有一个终止条件。这一条也可以帮助我们检查自己写的算法对不对。
如果递归之前没有终止条件，递归就会一直进行下去。

二、写递归

第一步、从小到大递归

可以从n==1开始考虑递归关系，然后让n逐渐增大，判断递归关系是否成立。在算法里，我们写递归一般不需要证明，先选几个较小的值验一下，再选择几个比较大的验一下即可。

第二步、分情况讨论，明确结束条件

我们说过递归里终止条件一定是靠前的，而大部分递归的终止条件不过是最小开始触底反弹时的几种情
况。
对于阶乘，当n=1时你就应该知道f(1)=1，也就是下面这样子：
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有时候需要考虑的终止条件不止一个，例如斐波那契数列的递推公式f(n)=f(n-1)+f(n-2)里，如果n=2时会出现(2)=f(1)+f(0),很明显这里是没有f(0)的，所以我们要将==2也给限制住，所以结束条件是这样的：
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有些情况不一定是触底才开始反弹，而是达到某种要求就要停止，这样需要考虑的情况会比较多。解决这类问题最直接的方式就是枚举，将可能的情况列举一下，再逐步优化。
确定终止条件对于递归至关重要，后面很多题目会花很大的篇幅来分析怎么判断终止条件，而一旦判断完毕，递推关系也就水到渠成了。