上帝造题的七分钟 2 / 花神游历各国

题目背景

XLk 觉得《上帝造题的七分钟》不太过瘾，于是有了第二部。

题目描述

"第一分钟，X 说，要有数列，于是便给定了一个正整数数列。

第二分钟，L 说，要能修改，于是便有了对一段数中每个数都开平方(下取整)的操作。

第三分钟，k 说，要能查询，于是便有了求一段数的和的操作。

第四分钟，彩虹喵说，要是 noip 难度，于是便有了数据范围。

第五分钟，诗人说，要有韵律，于是便有了时间限制和内存限制。

第六分钟，和雪说，要省点事，于是便有了保证运算过程中及最终结果均不超过 $64$ 位有符号整数类型的表示范围的限制。

第七分钟，这道题终于造完了，然而，造题的神牛们再也不想写这道题的程序了。"

——《上帝造题的七分钟·第二部》

所以这个神圣的任务就交给你了。

输入格式

第一行一个整数 $n$，代表数列中数的个数。

第二行 $n$ 个正整数，表示初始状态下数列中的数。

第三行一个整数 $m$，表示有 $m$ 次操作。

接下来 $m$ 行每行三个整数 k l r。

• $k=0$ 表示给 $[l,r]$ 中的每个数开平方（下取整）。

• $k=1$ 表示询问 $[l,r]$ 中各个数的和。

数据中有可能 $l>r$，所以遇到这种情况请交换 $l$ 和 $r$。

输出格式

对于询问操作，每行输出一个回答。

样例 #1

样例输入 #1

10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5
0 1 10
1 1 10
1 1 5
0 5 8
1 4 8

样例输出 #1

19
7
6

提示

对于 $30\%$ 的数据，$1\le n,m\le 10^3$，数列中的数不超过 $32767$。

对于 $100\%$ 的数据，$1\le n,m\le 10^5$，$1\le l,r\le n$，数列中的数大于 $0$，且不超过 $10^{12}$。

大致思路

按正经思路来说我们需要一个支持开方的线段树，但是！我们可以用一个巧妙的办法AC掉这个题

part1

首先，树状数组可以实现区间查询，区间查询 get！

part2

最关键的部分是我们怎样实现区间每个元素开方

对一个数开方并向下取整，我们可以把他看作是减法。（int自带向下取整）
$$tree[x]-=((int)\sqrt{a[i]}-a[i])$$

对应在树状数组内也就是一条链的修改，与单点修改相同，只需$add(i,((int)\sqrt{a[i]}-a[i]))$即可。

但这样是不够的，单点修改的时间复杂度过高，无法通过

part3

对于0和1来说，开方是没有意义的，再对他们进行无意义修改非常浪费，因此，我们用一个并查集记录下一个不为0或1的数。

part 2，3代码实现如下

void work(int l,int r){for(int i=l;i<=r;i){int k=(int)sqrt(a[i]);t1.add(i,k-a[i]);//part2部分，单点修改a[i]=k;//a[i]记录各个元素实际值if(a[i]<=1){//若当前元素为0或1fa[i]=i+1;//指向下一个数}else fa[i]=i;//否则当前元素还可能开方，指向自己if(find(i)==i){//若执行操作后当前元素是可能会被开方的，当前fa[i]被修改过，跳到下一个元素（下一个连通块）i=i+1;}else i=fa[i];//否则跳到下一个不为0或1的元素}
}

part 4 树状数组与并查集

剩下的只需要打个并查集和树状数组模板就ok啦

AC CODE

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long int
const int N=1e6+1145;
int n,m,fa[N],a[N];
int lowbit(int x){return x&-x;
}
int find(int x){if(fa[x]==x)return x;return fa[x]=find(fa[x]);
}
struct bit_tree{int tr[N];void add(int x,int ad){while(x<=n){tr[x]+=ad;x+=lowbit(x);}}int query(int x){int ans=0;while(x){ans+=tr[x];x-=lowbit(x);}return ans;}
}t1;
void work(int l,int r){for(int i=l;i<=r;i){int k=(int)sqrt(a[i]);t1.add(i,k-a[i]);//part2部分，单点修改a[i]=k;//a[i]记录各个元素实际值if(a[i]<=1){//若当前元素为0或1fa[i]=i+1;//指向下一个数}else fa[i]=i;//否则当前元素还可能开方，指向自己if(find(i)==i){//若执行操作后当前元素是可能会被开方的，当前fa[i]被修改过，跳到下一个元素（下一个连通块）i=i+1;}else i=fa[i];//否则跳到下一个不为0或1的元素}
}
signed main(){cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++){fa[i]=i;cin>>a[i];t1.add(i,a[i]);}cin>>m;while(m--){int p,l,r;cin>>p>>l>>r;if(l>r)swap(l,r);//注意l可能大于rif(p==0){work(l,r);}else if(p==1){cout<<t1.query(r)-t1.query(l-1)<<endl;}}return 0;
}

完结撒花

附封面（大哥！！！！！）