题目链接

[NOIP2006 提高组] 金明的预算方案

题目描述

金明今天很开心，家里购置的新房就要领钥匙了，新房里有一间金明自己专用的很宽敞的房间。更让他高兴的是，妈妈昨天对他说：“你的房间需要购买哪些物品，怎么布置，你说了算，只要不超过 $n$ 元钱就行”。今天一早，金明就开始做预算了，他把想买的物品分为两类：主件与附件，附件是从属于某个主件的，下表就是一些主件与附件的例子：

主件	附件
电脑	打印机，扫描仪
书柜	图书
书桌	台灯，文具
工作椅	无

如果要买归类为附件的物品，必须先买该附件所属的主件。每个主件可以有 $0$ 个、$1$ 个或 $2$ 个附件。每个附件对应一个主件，附件不再有从属于自己的附件。金明想买的东西很多，肯定会超过妈妈限定的 $n$ 元。于是，他把每件物品规定了一个重要度，分为 $5$ 等：用整数 $1\sim 5$ 表示，第 $5$ 等最重要。他还从因特网上查到了每件物品的价格（都是 $10$ 元的整数倍）。他希望在不超过 $n$ 元的前提下，使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。

设第 $j$ 件物品的价格为 $v_j$，重要度为$w_j$，共选中了 $k$ 件物品，编号依次为 $j_1,j_2,\dots ,j_k$，则所求的总和为：

$v_{j_1}\times w_{j_1}+v_{j_2}\times w_{j_2}+\cdots +v_{j_k}\times w_{j_k}$。

请你帮助金明设计一个满足要求的购物单。

输入格式

第一行有两个整数，分别表示总钱数 $n$ 和希望购买的物品个数 $m$。

第 $2$ 到第 $(m+1)$ 行，每行三个整数，第 $(i+1)$ 行的整数 $v_i$，$p_i$，$q_i$ 分别表示第 $i$ 件物品的价格、重要度以及它对应的的主件。如果 $q_i=0$，表示该物品本身是主件。

输出格式

输出一行一个整数表示答案。

样例 #1

样例输入 #1

1000 5
800 2 0
400 5 1
300 5 1
400 3 0
500 2 0

样例输出 #1

2200

提示

数据规模与约定

对于全部的测试点，保证 $1\le n\le 3.2\times 10^4$，$1\le m\le 60$，$0\le v_i\le 10^4$，$1\le p_i\le 5$，$0\le q_i\le m$，答案不超过 $2\times 10^5$。

算法思想

根据题目描述：

• 想买的物品分为主件与附件，如果要买归类为附件的物品，必须先买该附件所属的主件
• 每个主件可以有 $0$ 个、$1$ 个或 $2$ 个附件

由于附件数量很小，可以将主件和附件组合在一起变成分组背包问题，例如附件数量为$2$时，那么一个分组中有4种组合：

• 主件$a_i$，不选择附件
• 主件$a_i$，选择附件$b_{i1}$
• 主件$a_i$，选择附件$b_{i2}$
• 主件$a_i$，选择附件$b_{i1}$和$b_{i2}$

根据以上分析，可以使用分组背包的思想解决，可以参考博主的另一篇文章——每周一算法：背包问题（四）分组背包。

时间复杂度

• 状态数为$n\times m$
• 在状态计算中，主件最多有$2$个附件，因此每个分组最多有$4$个组合

总的时间复杂度为$O(n\times m\times 4)=3.2\times 10^4\times 60\times 4=7,680,000$

代码实现

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;
const int N = 60, M = 32000;
PII a[N]; //主件价格和重要度
vector<PII> b[N]; //附件
int f[M];
int main()
{int n, m;cin >> m >> n;for(int i = 1; i <= n; i ++){int v, p, q;cin >> v >> p >> q;if(q == 0) //主件{a[i].first = v, a[i].second = v * p;}else //住件q的附件b[q].push_back({v, v * p});}//分组背包for(int i = 1; i <= n; i ++){//背包空间优化for(int j = m; j >= 0; j --){int len = b[i].size(); //第i个主件中附件的数量//二进制枚举主件和附件的组合00,01,10,11for(int k = 0; k < (1 << len); k ++){int v = a[i].first, w = a[i].second; //主件的体积和价值for(int t = 0; t < len; t ++) //枚举附件{if(k >> t & 1) //如果选择第t个附件{v += b[i][t].first;w += b[i][t].second;}}if(j >= v) f[j] = max(f[j], f[j - v] + w);}}}cout << f[m];return 0;
}