多重背包问题的优化学习笔记 AcWing 5. 多重背包问题 II（算法基础课）

乘法原理

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乘法原理是说把多个步骤的所有方法相乘，表示整个事件所有可能的解决方法

原题

有 N� 种物品和一个容量是 V� 的背包。

第 i� 种物品最多有 si�� 件，每件体积是 vi��，价值是 wi��。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V�，�，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N� 行，每行三个整数 vi,wi,si��,��,��，用空格隔开，分别表示第 i� 种物品的体积、价值和数量。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N≤10000<�≤1000
0<V≤20000<�≤2000
0<vi,wi,si≤20000<��,��,��≤2000

提示：

本题考查多重背包的二进制优化方法。

输入样例

输出样例：

难度：中等

时/空限制：1s / 64MB

总通过数：75903

总尝试数：164479

来源：背包九讲 , 模板题

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代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;const int N=11000+10,M=2000+10;
int v[N],w[N];
int f[M];int main()
{int n,m;scanf("%d%d",&n,&m);int cnt=0;for(int i=0;i<n;i++){int a,b,s;scanf("%d%d%d",&a,&b,&s);int k=1;while(k<=s){cnt++;v[cnt]=k*a;w[cnt]=k*b;s-=k,k*=2;}if(s>0){cnt++;v[cnt]=s*a;w[cnt]=s*b;}}n=cnt;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=m;j>=v[i];j--){f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);}}printf("%d\n",f[m]);return 0;
}

总结

一、二进制优化

1.不优化的情况的时间复杂度是N^3，在数据范围比较大的时候会超时，所以我们选择二进制优化，把一维的N优化为logN，时间复杂度变为N^2*logN，可以通过这道题

2.思路是，给定了物品数目s,可以选择0件，1件，2件，……，s件物品，一个一个循环的话需要循环s+1次才能表示所有的情况，如果我们使用二进制的话，int范围内都只需要32位数字，就可以表示所有数字，数据范围是2000，只需要最多11个数字，2^11=2048，2^0,2^1,2^2,...2^11,二进制表示本质和01背包就很相似，每一个数位选择0或者是1，从而可以表示所有数字

3.注意一个一般化的情况，物品的件数s不是2的整数次幂，比如数字10，2^0=1,2^1=2,2^2=4,2^3=8,0+1+2+4+8>10,如果选择到数字2^3=8，超过了我们最多可以选择的件数10，这会造成理论上可以选择多件物品，但是实际上只有10件物品可以选择，所以我们只能选择到2^2=4,0+1+2+4=7,再补充一个数字10-7=3,原来的0，1，2，4可以表示0~7范围的所有数字，加上数字3之后，可以表示0~10范围的所有数字，0，1，2，4表示0~7范围内所有数字的方法就是二进制计数，每一个数位是否选择该数字

- - - -：000 0 0

- - - - ：001 1 1

- - - -：010 2 2

- - - -：011 3 1+2

- - - -：100 4 4

- - - -：101 5 4+1

- - - - ：110 6 4+2

- - - - ：111 7 4+2+1