Day42

分割等和子集

416. 分割等和子集 - 力扣（LeetCode）

题目

给定一个只包含正整数的非空数组。是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

注意: 每个数组中的元素不会超过 100 数组的大小不会超过 200

示例 1:

• 输入: [1, 5, 11, 5]
• 输出: true
• 解释: 数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11].

示例 2:

• 输入: [1, 2, 3, 5]
• 输出: false
• 解释: 数组不能分割成两个元素和相等的子集.

提示：

• 1 <= nums.length <= 200
• 1 <= nums[i] <= 100

思路

这道题目初步看，和如下两题几乎是一样的，大家可以用回溯法，解决如下两题

• 698.划分为k个相等的子集
• 473.火柴拼正方形

这道题目是要找是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

那么只要找到集合里能够出现 sum / 2 的子集总和，就算是可以分割成两个相同元素和子集了。

本题是可以用回溯暴力搜索出所有答案的

首先，本题要求集合里能否出现总和为 sum / 2 的子集。

那么来一一对应一下本题，看看背包问题如何来解决。

只有确定了如下四点，才能把01背包问题套到本题上来。

• 背包的体积为sum / 2
• 背包要放入的商品（集合里的元素）重量为 元素的数值，价值也为元素的数值
• 背包如果正好装满，说明找到了总和为 sum / 2 的子集。
• 背包中每一个元素是不可重复放入。

以上分析完，我们就可以套用01背包，来解决这个问题了。

• 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

01背包中，dp[j] 表示： 容量为j的背包，所背的物品价值最大可以为dp[j]。

本题中每一个元素的数值既是重量，也是价值。

套到本题，dp[j]表示 背包总容量（所能装的总重量）是j，放进物品后，背的最大重量为dp[j]。

那么如果背包容量为target， dp[target]就是装满 背包之后的重量，所以 当 dp[target] == target 的时候，背包就装满了。

• 确定递推公式

01背包的递推公式为：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

本题，相当于背包里放入数值，那么物品i的重量是nums[i]，其价值也是nums[i]。

所以递推公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);

• dp数组如何初始化

从dp[j]的定义来看，首先dp[0]一定是0。

如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了，如果题目给的价值有负数，那么非0下标就要初始化为负无穷。

这样才能让dp数组在递推的过程中取得最大的价值，而不是被初始值覆盖了。

• 确定遍历顺序

在动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组） (opens new window)中就已经说明：如果使用一维dp数组，物品遍历的for循环放在外层，遍历背包的for循环放在内层，且内层for循环倒序遍历！

// 开始 01背包
for(int i = 0; i < nums.size(); i++) {for(int j = target; j >= nums[i]; j--) { // 每一个元素一定是不可重复放入，所以从大到小遍历dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);}
}

• 举例推导dp数组

dp[j]的数值一定是小于等于j的。

如果dp[j] == j 说明，集合中的子集总和正好可以凑成总和j，理解这一点很重要。

代码

class Solution {public boolean canPartition(int[] nums) {if(nums.length == 0) return false;int sum = 0;for(int i = 0; i < nums.length; i++){sum += nums[i];}if(sum % 2 != 0) return false;int target = sum / 2;int dp[] = new int[target + 1];dp[0] = 0;for(int i = 1; i < nums.length; i++){for(int j = target; j >= nums[i]; j--){dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);}}return dp[target] == target;}
}

这道题目就是一道01背包应用类的题目，需要我们拆解题目，然后套入01背包的场景。

01背包相对于本题，主要要理解，题目中物品是nums[i]，重量是nums[i]，价值也是nums[i]，背包体积是sum/2。

划分为k个相等的子集

698. 划分为k个相等的子集 - 力扣（LeetCode）

题目

给定一个整数数组  nums 和一个正整数 k，找出是否有可能把这个数组分成 k 个非空子集，其总和都相等。

示例 1：

输入： nums = [4, 3, 2, 3, 5, 2, 1], k = 4
输出： True
说明： 有可能将其分成 4 个子集（5），（1,4），（2,3），（2,3）等于总和。
示例 2:

输入: nums = [1,2,3,4], k = 3
输出: false

提示：

1 <= k <= len(nums) <= 16
0 < nums[i] < 10000
每个元素的频率在 [1,4] 范围内

思路

两种可能，这个数正好是桶当前的容量，或者将这个数放进桶后这个桶还能再放别的数。

代码

class Solution {public boolean canPartitionKSubsets(int[] nums, int k) {int sum = 0;for(int i = 0; i < nums.length; i++){sum += nums[i];}if(sum % k != 0) return false;int target = sum / k;int arr[] = new int[k];Arrays.fill(arr, target);Arrays.sort(nums);return backtracking(nums, nums.length - 1, arr, k);}public boolean backtracking(int[] nums, int cur, int arr[], int k){//已经遍历到了-1说明前面的所有数都正好可以放入桶里，那所有桶的值此时都为0，说明找到了结果，返回trueif(cur < 0) return true;for(int i = 0; i < k; i++){//两种可能，这个数正好是桶当前的容量，或者将这个数放进桶后这个桶还能再放别的数。if(nums[cur] == arr[i] || arr[i] - nums[cur] >= nums[0]){arr[i] -= nums[cur];if(backtracking(nums, cur - 1, arr, k)) return true;arr[i] += nums[cur];}}return false;}
}