设平面$Ax+By+Cz+D=0\left(A^2+B^2+C^2\ne 0\right)$,
点$P(P_x,P_y,P_z)$

(1)求点$P$到平面距离
(2)过点$P$作直线，方向为$\left(D_x,D_y,D_z\right)$,求平面与直线交点
(2)过点$P$作射线，方向为$\left(D_x,D_y,D_z\right)$,求平面与直线交点

解：
（1）这个高中有学过
$$\frac{\left|A{P}_x+B{P}_y+C{P}_z+D\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$

（2）为了方便，平面法向量$\mathbf{n}=\left(A,B,C\right)$
直线方向向量$\mathbf{d}=\left(D_x,D_y,D_z\right)$
直线上的点可以表示为$P+t\mathbf{d}$,其中$t\in \mathbb{R}$

1.若$\mathbf{n}\cdot \mathbf{d}\ne 0$，则直线和平面有且仅有1个交点
由于$P+t\mathbf{d}$在平面上，因此
$$\mathbf{n}\cdot \left(P+t\mathbf{d}\right)+D=0\Rightarrow t=-\frac{D+\mathbf{n}\cdot P}{\mathbf{n}\cdot \mathbf{d}}$$
进而交点坐标
$$\begin{array}{rl}P+t\mathbf{d}& =P-\frac{D+\mathbf{n}\cdot P}{\mathbf{n}\cdot \mathbf{d}}\mathbf{d}\\ & =\left(\begin{array}{c}{P}_x-\frac{\left(A{P}_x+B{P}_y+C{P}_z+D\right)}{A{D}_x+B{D}_y+C{D}_z}{D}_x\\ P_y-\frac{\left(A{P}_x+B{P}_y+C{P}_z+D\right)}{A{D}_x+B{D}_y+C{D}_z}{D}_y\\ P_z-\frac{\left(A{P}_x+B{P}_y+C{P}_z+D\right)}{A{D}_x+B{D}_y+C{D}_z}{D}_z\end{array}\right)\end{array}$$

2.若$\mathbf{n}\cdot \mathbf{d}=0$，且$\mathbf{n}\cdot P+d=0$,则直线与平面重合
3.若$\mathbf{n}\cdot \mathbf{d}=0$，且$\mathbf{n}\cdot P+d\ne 0$,则直线与平面无交点

（3）与（2）类似
射线上的点可以表示为$P+t\mathbf{d}$,其中$t\in {\mathbb{R}}_{+}$
依然可以得到$t=-\frac{D+\mathbf{n}\cdot P}{\mathbf{n}\cdot \mathbf{d}}$

1.若$\mathbf{n}\cdot \mathbf{d}\ne 0$且$t<0$则无交点
2.若$\mathbf{n}\cdot \mathbf{d}\ne 0$且$t\ge 0$，则只有一个交点
$$\begin{array}{rl}P+t\mathbf{d}& =P-\frac{D+\mathbf{n}\cdot P}{\mathbf{n}\cdot \mathbf{d}}\mathbf{d}\\ & =\left(\begin{array}{c}{P}_x-\frac{\left(A{P}_x+B{P}_y+C{P}_z+D\right)}{A{D}_x+B{D}_y+C{D}_z}{D}_x\\ P_y-\frac{\left(A{P}_x+B{P}_y+C{P}_z+D\right)}{A{D}_x+B{D}_y+C{D}_z}{D}_y\\ P_z-\frac{\left(A{P}_x+B{P}_y+C{P}_z+D\right)}{A{D}_x+B{D}_y+C{D}_z}{D}_z\end{array}\right)\end{array}$$

3.若$\mathbf{n}\cdot \mathbf{d}=0$，且$\mathbf{n}\cdot P+d=0$,则直线与平面重合
4.若$\mathbf{n}\cdot \mathbf{d}=0$，且$\mathbf{n}\cdot P+d\ne 0$,则直线与平面无交点

参考：
https://zhuanlan.zhihu.com/p/404311333