Brain Teaser概率类 - 抛硬币

问题

你有 17 个硬币,我有 16 个硬币,我们同时抛掷所有硬币。 如果你有更多的正面,那么你赢,否则我赢。 你获胜的概率是多少?

解答

划分出3个相互独立的事件:你抛前16枚硬币;我抛16枚硬币;你抛最后一枚硬币。首先考虑前两个事件:

  1. 你的正面比我多,概率为p. 此时无论「你抛最后一枚硬币」的结果如何,都是你赢。
  2. 你的正面和我一样多,概率为1-2p. 此时当且仅当「你抛最后一枚硬币」的结果为正面(概率为1/2),结果为你赢。
  3. 你的正面比我少,概率为p. 此时无论「你抛最后一枚硬币」的结果如何,都是我赢。

综上所述你赢的概率为p + (1-2p) * 1/2 = 1/2.

解答2

对于每种可能的取样结果,构造对称的取样结果:每一个硬币的正反面翻转的情况。

  1. 若原始结果为你赢,则你的正面不小于我的正面+1,等价于你的反面不大于我的反面。翻转后你的正面不大于我的正面,我赢。
  2. 若原始结果为我赢,则你的正面不大于我的正面,翻转后你的反面不大于我的反面,你赢。

由对称性易见你赢的概率为1/2.

此解的关键是发掘出「你的反面不大于我的反面」这一条件。

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