VEX —— Quaternion|Euler Angle

一，四元数相关概念

四元数

欧拉角

常用四元数相关函数

相互转换

二，案例

案例：沿面中心翻转

案例：路径导弹

案例：RBD刚体还原过渡

一，四元数相关概念

四元数

在vex内四元数为（（x，y，z），w）；

//VEX内获得四元数
vector4 quaternion(matrix3 rotations) //仅应用矩阵的旋转信息
vector4 quaternion(float angle, vector axis)
vector4 quaternion(vector angleaxis) //方向为旋转轴，大小为旋转角度vector4  eulertoquaternion(vector rotations, int order)

注，数学运算，如绕某向量 K=( $K_{x}$ , $K_{y}$ , $K_{z}$ ) 旋转 $\theta$ ，则四元数为：

(x，y，z) = ( $K_{x}$ , $K_{y}$ , $K_{z}$ ) * $\sin \frac{\theta }{2}$
w = $\cos \frac{\theta }{2}$
且满足条件： $x^{2}$ + $y^{2}$ + $z^{2}$ + $w^{2}$ =1

欧拉角

由环绕三个轴旋转的角度组成的矢量表示

绕著x轴的旋转（Roll），绕著交点线的旋转（Pitch），绕著z轴的旋转（Yaw）；
任何旋转矩阵都是由三个基本旋转矩阵复合而成的；
不同旋转顺序，结果不同，默认旋转顺序XYZ；

//VEX内获得欧拉角
vector  quaterniontoeuler(vector4 orient, int order)
注，可使用Transform节点应用欧拉角；

常用四元数相关函数

dihedral()

quaternion()

qrotate()

qmultiply()

qinvert()

qdistance()

qconvert()

eulertoquaternion()

quaterniontoeuler()

slerp()

相互转换

//矩阵转四元数
matrix m = detail(1, 'xform');
vector4 q = quaternion(matrix3(m));

//四元数转矩阵
vector4 q = quaternion(ch('ang'), chv('axis'));
matrix3 m = qconvert(q);

//欧拉角转矩阵或四元数
v@euler_angle = degrees(chv('ang'));
vector4 q = eulertoquaternion(@euler_angle);
matrix3 m = qconvert(q);

//四元数或矩阵，获取欧拉角
matrix m = detail(1, 'xform');
vector4 q = quaternion(matrix3(m));
v@euler_angle = degrees(quaterniontoeuler(q, 0));

二，案例

设置旋转，dihedral，quaternion，orient（可用于copy）；
合并旋转，qmultiply
应用旋转，qrotate

案例：沿面中心翻转

//point层级，并获取所属面的其他点
int pts[] = primpoints(0, @primnum);
vector pos0 = point(0, 'P', pts[0]);
vector pos1 = point(0, 'P', pts[1]);
vector pos2 = point(0, 'P', pts[2]);
vector pos3 = point(0, 'P', pts[3]);

//方法一，先归到中心点旋转，在还原
vector center = (pos0+pos1+pos2+pos3)/4;
vector axis = normalize(pos1-pos0);@P -= center;float ang = @Time;
vector4 q = quaternion(ang, axis);
@P = qrotate(q,@P);@P += center;

//方法二，使用maketransform
vector pivot = (pos0+pos1+pos2+pos3)/4;
vector axis = normalize(pos1-pos0);//直接绕axis旋转
float ang = @Time;
vector4 q_r = quaternion(ang, axis);
vector r = degrees(quaterniontoeuler(q_r, 0));@P *= maketransform(0,0,0,r,1,pivot,0);//绕x轴旋转，中心点旋转偏移到axis
float ang = @Time;
vector dir = set(1,0,0);
vector r = dir * degrees(ang);
vector4 q_pr = dihedral(dir, axis);
vector pr = degrees(quaterniontoeuler(q_pr, 0));@P *= maketransform(0,0,0,r,1,pivot,pr);

//方法三，使用函数instance
vector pivot = (pos0+pos1+pos2+pos3)/4;
vector axis = normalize(pos1-pos0);float ang = @Time;
vector4 orient = quaternion(ang, axis);
@P *= instance(pivot,0,1,0,orient,pivot);

//方法二，手搓矩阵(即将本身或局部坐标系恢复到世界坐标系，旋转后，在还原到原坐标系)
vector center = (pos0+pos1+pos2+pos3)/4;
vector xaxis = normalize(pos1-pos0);
vector yaxis = normalize(prim(0,'N',@primnum));
vector zaxis = normalize(cross(xaxis, yaxis));matrix m = set(xaxis, yaxis, zaxis, center);
m.xa = m.ya = m.za = 0;
@P *= invert(m);float ang = @Time;
vector4 q = quaternion(ang, set(1,0,0));
@P = qrotate(q, @P);@P *= m;

案例：路径导弹

//方法一
vector tangentu = -primuv(1, 'tangentu', 0, ch('u'));
vector tangentv = primuv(1, 'tangentv', 0, ch('u'));
vector pos = primuv(1, 'P', 0, ch('u'));vector4 rot1 = dihedral(set(1,0,0), tangentu);
vector4 rot2 = quaternion(@Time*10, set(1,0,0));
vector4 rot = qmultiply(rot1, rot2);//如不是pack物体
@P = qrotate(rot, @P) + pos;//如是pack物体，使用以下代码
@P = pos;
matrix3 m = qconvert(rot);
setprimintrinsic(0, "transform", 0, m);

//方法二
vector x_axis = -primuv(1, 'tangentu', 0, ch('u'));
vector y_axis = primuv(1, 'tangentv', 0, ch('u'));
vector z_axis = cross(x_axis, y_axis);
vector pos = primuv(1, 'P', 0, ch('u'));matrix m = set(normalize(x_axis), normalize(y_axis), normalize(z_axis), pos);
vector4 q = quaternion(@Time*10, set(1,0,0));@P = qrotate(q, @P);
@P *= m;

案例：RBD刚体还原过渡

RBD刚体的中心和质心（rest信息）的区别；

注，pack对象intrinsic属性

transform，存储旋转信息，使用setprimintrinsic函数设置；
packedfulltransform，存储所有的变换信息（只读）；

//DOP内部还原的原始位置为rest，注意设置input端口
//直接用rbdbulletsolver(SOP)，原始位置还是originP
float bias = chramp('bias', fit(@Frame-@offset*10,75,125,0,1));
matrix3 cm = primintrinsic(0, 'transform', @ptnum);
matrix3 blend = slerp(cm, 3@m, pow(bias,2));
setprimintrinsic(0, 'transform', @ptnum, blend);
v@P = lerp(@P, v@rest, bias);

float bias = chramp('bias', fit(@Frame-@offset*10,75,125,0,1));
matrix fm = getpackedtransform(0, @ptnum);
vector t = cracktransform(0, 0, 0, 0, 4@fm);
translate(4@fm, -t);
translate(4@fm, v@rest);
matrix blend = slerp(fm, 4@fm, bias);
setpackedtransform(0, @ptnum, blend);

案例：拉直螺旋线

原理1：以0号点为中心旋转1号点及后续所有点到Y轴上，在以1号点为中心旋转2号点及后续所有点到Y轴上，依次类推；可使用solver或循环（在旋转一次的基础在旋转，容易理解）；
原理2，每层循环记录上次循环的上一个拉直点(prepos)；每层循环先移动到原点旋转Y轴，在加上prepos；
for等循环体内的point()始终都是读取输入端口的属性，setpointattrib始终会在输出时设置；

//solver节点内，detail层级
int i = @Frame;
vector pos0 = point(0, 'P', i-1);
vector pos1 = point(0, 'P', i);
vector4 rot = dihedral(pos1-pos0, set(0,1,0));vector pos = qrotate(rot, pos1-pos0);
setpointattrib(0, 'P', i, pos+pos0);for(int j=i+1; j<npoints(0); j++){vector pos2 = point(0, 'P', j);pos2 = qrotate(rot, pos2-pos0);setpointattrib(0, 'P', j, pos2+pos0);
}

//point层级，每层循环互不关联
vector prepos = 0;for(int i=1; i< @Frame; i++){vector pivot  = point(0, 'P', i-1);vector pos = point(0, 'P', i);    vector4 rot = dihedral(pos-pivot, set(0,1,0));    if(@ptnum>=i){vector mpos = qrotate(rot, @P-pivot);//@P=mpos+prepos; //会对下一循环影响setpointattrib(0, 'P', @ptnum, mpos+prepos);}prepos = qrotate(rot, pos-pivot)+prepos;
}