数学术语之源——单射(injection),满射(surjection),双射(bijection)

1. 单射或入射(injection)

1.1 injection的词源

词义为“a forcing of a fluid into a body (with a syringe, etc.)(迫使液体进入体内(使用注射器等))”(始于15世纪早期)，来自古法语“iniection ”(14世纪)或者直接来自拉词语“iniectionem (主格‘iniectio’)”，词义为“扔进去(a throwing in)”，源自过去分词词干“inicere ”的动作名词，词义为“扔进去或扔上去(to throw in or on)”。

1.2 injection引入代数学及其数学含义

据牛津英语词典记载，S. MacLane曾在<<美国数学会会刊>>(Bulletin of the American Mathematical Society)中使用过“injection”(1950年)，以及Eilenberg 和 Steenrod曾在<<代数拓扑基础>>(Foundations of Algebraic Topology)中使用过“injective”(1952年)。然而，这个术语族(指“injection”，“surjection”和“bijection”)是由Nicholas Bourbaki在“集合论，数学基础第一部分，第一册，第一章，第二章(Théorie des ensembles, Éléments de mathématique Première Partie, Livre I, Chapitres I, II)”中其中的第80页中引入的(1954年)。回顾R. O. Gandy在<<符号逻辑杂志>>(Journal of Symbolic Logic)上对该书的评论(1959 年，第 72 页)：

Another useful function of Bourbaki’s treatise has been to standardise notation and terminology… Standard terms are badly needed for “one-to-one,” “onto” and “one-to-one onto”; will Bourbaki’s “injection,” “surjection” and “bijection” prove acceptable? (Bourbaki论文的另一个有用功能是标准化符号和术语……急需对 “一对一”、“映射”和“一对一映射” 进行术语的标准化；Bourbaki的“入射(或内射)”、“满射”和“双射”能被接受吗？)

这些术语被证实确实是可以接受的，甚至对于用英语写作的数学家来说也是如此，并且很快就成为标准。例如，Jun-Ichi Igusa“Fibre Systems of Jacobian Varieties(Jacobian变体的纤维系统)”中使用了所有这三个术语，<<美国数学杂志>>(American Journal of Mathematics)，78期，(1956年)，第171-199页。(JSTOR搜索)形容词形式出现在 C. Chevalley的著作<<代数基础概念>>(Fundamental Concepts of Algebra)(1956年)中：一个入射的同态称为单态射；一个满射同态称为一个满态射(A homomorphism which is injective is called a monomorphism; a homomorphism which is surjective is called an epimorphism)。”(牛津英语词典)(另参考条目“one-to-one”和“onto”。)

“一对一对应关系(ONE-TO-ONE CORRESPONDENCE)”被发现曾出现在H. G. Zeuthen文章中， C. R. LXX. 742. (1870年)记录“在点一一对应的两个曲面的基点上(Sur les points fondamentaux de deux surfaces dont les points se correspondent un à un)”。一对一的对应关系于 1873 年在 “Proc. Lond. Math. Soc. IV. 252” 中以英语形式找到。：“方程……应该在两个积分空间之间建立‘一对一’的对应关系。” Bertrand Russell 在他的<<数学原理>>( Principles of Mathematics)(1903 年，第 113 页)中指出，“两个类具有相同的数……当它们的项可以一对一相关时，因此其中任何一项都对应于另一项且唯一的项。”(牛津英语词典)。

“onto”一词曾在1940年被C. C. MacDuffee在他的<<抽象代数引论>>( Introd. Abstract Algebra)中用作介词:“如果A映射到B的同态存在，我们记为A ~ B(If a homomorphism of A onto B exists, we write A ~ B)”。

事实上，理解成“one-to-one”(一对一映射)也不直观，并没体理其映射本质。而译为“单射”或“入射”也只体现了其映射的一个特征，而译成“内射”就更不直观了。相对而言，“单射”或“入射”略为妥当，说其是“单射”，是相对于“双射”而言，其本质应是“原像不同则像不同的单向映射”，是某种意义上的“不同对应不同”。

2. 满射(surjection)

“surjection”的来源同“injection”,一般认为是由Nicholas Bourbaki引入数学的。“surjection”本身是个法语词，源头来自拉丁词“superiectiō”，其词义为“a throwing over or on(扔过或扔到上面)”。由前缀“sur-”(over, above, beyond, in addition)(在……之上，居于……之上，……之外，除此之外)+“jection”构成。即，“映射时其像囊括整个值域范围的映射”。即其数学含义是“范围(range)中的值必有原像的映射。”

3. 双射(bijection)

“bijection”也是一个来自法语的词汇，由“bi-”(词义为“two, having two, twice, double, doubly, twofold, once every two(两个，具有二的性质，两次的，双的，双重的，双倍的，每两次)”)+“jection”。在这里，“bi-”应理解为“两重性质的映射”。同样，一般认为是由Nicholas Bourbaki引入数学的。这个从字面意义也只看出一半的意义。本质为单射和满射的结合，即，“原像不同像不同，并且范围(range)中的值必有原像”这两种特征结合的映射。应该说，双射才真正符合一对一性质的映射。