Softmax和Sigmoid函数在机器学习和深度学习中都扮演着重要的角色，但它们在功能和应用上存在一些关键的区别。

功能和应用领域：

Softmax函数：主要用于多分类问题。它将一组实数（通常是神经网络的输出）转换为一组概率分布，这些概率表示输入数据属于各个类别的可能性。因此，在机器学习和深度学习中，Softmax函数常用于多分类任务的输出层，如图像分类、文本分类等。
Sigmoid函数：主要用于二分类问题，但也可以用于多分类问题中的每个类别的独立概率预测。它将任意实数映射到0和1之间的值，这个值可以解释为某个事件发生的概率。在神经网络中，Sigmoid函数常用作激活函数，将神经元的输入转换为0到1之间的输出值。
数学定义：

Softmax函数：对于给定的实数向量z=[z1, z2, …, zk]，Softmax函数将其转换为概率分布。具体来说，对于向量中的每个元素zi，其对应的概率pi为e^{zi除以所有元素e}zj（j=1,2,…,k）的和。这确保了所有类别的概率之和为1。
Sigmoid函数：数学上表示为σ(x)=1/(1+e^-x)，其中x是输入值。该函数将x映射到0和1之间的值，表示某个事件发生的概率。
输出范围：

Softmax函数：输出的是一个概率分布，即所有类别的概率之和为1。因此，Softmax函数的输出值都在0到1之间，且所有输出值的和为1。
Sigmoid函数：输出的是一个介于0和1之间的值，表示某个事件发生的概率。但是，当用于多分类问题时，Sigmoid函数会为每个类别输出一个独立的概率值，这些概率值并不保证相加为1。
梯度特性：

Softmax函数：在反向传播过程中，Softmax函数的梯度计算涉及到所有类别的输出值。这可能导致梯度消失或爆炸的问题，尤其是在类别数量很多或输出值很大/很小的时候。
Sigmoid函数：其梯度在接近0或1时变得很小，这可能导致梯度消失的问题。然而，对于二分类问题或独立预测每个类别的概率时，Sigmoid函数仍然是一个有效的选择。
总的来说，Softmax和Sigmoid函数在功能、数学定义、输出范围和梯度特性等方面都存在差异。在选择使用哪种函数时，需要根据具体的问题和需求来决定。