算法-Floyd

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前置知识

• dp基础
• 图论基础

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思路

Floyd 是一种优秀的全源最短路算法。
它的执行过程类似于 dp，如下：
首先我们定义 $d[i][j]$ 为节点 $i$ 到节点 $j$ 的最短距离。
我们枚举中转节点 $k$，再枚举两个节点 $i,j$，显然得到转移方程 $d[i][j]=\min (d[i][j],d[i][k]+d[k][j])$。
结束遍历后，$d[i][j]$ 即为答案。

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算法参数

• 时间复杂度：$O(n^3)$
• 空间复杂度：$O(n^2)$

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实现代码

for (int k=1;k<=n;k++)for (int i=1;i<=n;i++)for (int j=1;j<=n;j++)d[i][j]=min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j]);

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练习

• B3647
• CF295B
• CF1196F

注：在稀疏图中，Floyd 不如跑 $n$ 遍 Dijkstra。但是 Floyd 其实是一种 $(\min ,+)$ 的广义矩阵乘法，所以有时可以用于解决进阶问题。