案例：鸡兔同笼问题的三种解法（递进式教学）

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一、问题描述

已知鸡和兔关在同一个笼子里，共有 35个头 和 94只脚。求鸡和兔各有多少只？

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二、方程式解法（基础版）

符合认知规律：从最直观的数学语言入手，培养问题拆解能力。

步骤解析

1. 定义变量：

   • 设鸡的数量为 $x$，兔的数量为 $y$。

2. 列方程组：
   $$\{\begin{array}{l}x+y=35\\ 2x+4y=94\end{array}$$

3. 解方程（代入法）：

   • 由 $x+y=35$ 得 $x=35-y$。
   • 代入 $2x+4y=94$：
     $$2(35-y)+4y=94$$
   • 化简：
     $$70+2y=94\Rightarrow y=12$$
   • 回代得 $x=35-12=23$。

答案：鸡 23 只，兔 12 只。

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三、线性代数解法（进阶版）

意义：将实际问题抽象为矩阵运算，为多维问题提供通用解法。

1. 方程组转化为矩阵形式

原方程组：
$$\{\begin{array}{l}x+y=35\\ 2x+4y=94\end{array}$$

等价于矩阵方程：
$$A\mathbf{x}=\mathbf{b}\text{，其中}A=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 4\end{array}\right],\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right],\mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}35\\ 94\end{array}\right].$$

2. 矩阵求解（逆矩阵法）

解为：
$$\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}$$

计算步骤：

1. 求系数矩阵 $A$ 的行列式：
   $$\det (A)=(1)(4)-(1)(2)=2$$

2. 求逆矩阵 $A^{-1}$：
   $$A^{-1}=\frac{1}{\det (A)}\left[\begin{array}{cc}4& -1\\ -2& 1\end{array}\right]=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}4& -1\\ -2& 1\end{array}\right]$$

3. 矩阵乘法：
   $$\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}4& -1\\ -2& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}35\\ 94\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{4\times 35-1\times 94}{2}\\ \frac{-2\times 35+1\times 94}{2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}23\\ 12\end{array}\right]$$

意义：通过矩阵运算揭示变量间的线性关系，适用于高维复杂问题。

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四、Excel计算法

操作步骤

1. 输入数据：

   • 在单元格 A2:C3 输入系数矩阵：

     1   1
     2   4
     

     

   • 在单元格 D2:D3 输入常数项：

     35
     94
     

     

2. 计算逆矩阵：

   • 选中 E1:F2，输入公式：

     =MINVERSE(B2:C3)    
     

     

     按 Ctrl+Shift+Enter 以数组公式计算。

3. 矩阵乘法求结果：

   • 选中 G1:G2，输入公式：

     =MMULT(B7:C8,E7:E8)  
     

     

     按 Ctrl+Shift+Enter，得到结果 [23; 12]。

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