问题描述

给定一个 m x n 的矩阵，如果矩阵中的某个元素为 0，则需要将其所在的行和列的所有元素都置为 0。要求使用原地算法，即不使用额外的矩阵空间，只允许使用常数级别的额外空间。

示例

示例 1：

输入：

matrix = [[1, 1, 1],[1, 0, 1],[1, 1, 1]
]

输出：

[[1, 0, 1],[0, 0, 0],[1, 0, 1]
]

示例 2：

输入：

matrix = [[0, 1, 2, 0],[3, 4, 5, 2],[1, 3, 1, 5]
]

输出：

[[0, 0, 0, 0],[0, 4, 5, 0],[0, 3, 1, 0]
]

约束条件

• m == matrix.length
• n == matrix[0].length
• 1 <= m, n <= 200
• -2^31 <= matrix[i][j] <= 2^31 - 1

进阶要求

1. 一个直观的解决方案是使用 O(mn) 的额外空间，但这并不是一个好的解决方案。
2. 一个简单的改进方案是使用 O(m + n) 的额外空间，但这仍然不是最好的解决方案。
3. 能否实现一个仅使用 常量空间 的解决方案？

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问题分析

本题要求将矩阵中某些行和列置零，且必须使用原地算法。直接遍历矩阵并将对应行和列置零会导致信息丢失，因此需要一种方法来标记哪些行和列需要被置零。

难点分析

1. 标记零的位置：如何在不使用额外矩阵的情况下记录哪些行和列需要被置零。
2. 原地修改：在标记完成后，如何在不破坏标记信息的情况下完成置零操作。
3. 第一行和第一列的特殊情况：如果第一行或第一列本身包含零，直接使用它们作为标记可能会导致误修改。

解题思路

我们可以通过以下步骤实现原地算法：

1. 使用第一行和第一列作为标记：

   • 遍历矩阵，如果某个元素为 0，则将该元素所在行的第一个元素和所在列的第一个元素置为 0。这样，第一行和第一列就成为了标记行和列是否需要置零的“索引”。

2. 处理第一行和第一列的特殊情况：

   • 如果第一行或第一列本身存在 0，则需要额外记录，因为它们会被用作标记，可能会被误修改。

3. 根据标记置零：

   • 遍历第一行和第一列的标记，将对应的行和列置零。

4. 处理第一行和第一列：

   • 最后根据之前记录的特殊情况，决定是否将第一行和第一列整体置零。

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代码实现

以下是完整的 C 代码实现：

void setZeroes(int** matrix, int matrixSize, int* matrixColSize) {int firstRowZero = 0;           // 标记第一行是否需要置零int firstColZero = 0;           // 标记第一列是否需要置零// 检查第一行是否需要置零for (int j = 0; j < *matrixColSize; j++) {if (matrix[0][j] == 0) {firstRowZero = 1;break;}}// 检查第一列是否需要置零for (int i = 0; i < matrixSize; i++) {if (matrix[i][0] == 0) {firstColZero = 1;break;}}// 使用第一行和第一列作为标记for (int i = 1; i < matrixSize; i++) {for (int j = 1; j < *matrixColSize; j++) {if (matrix[i][j] == 0) {matrix[i][0] = 0;  // 标记该行需要置零matrix[0][j] = 0;  // 标记该列需要置零}}}// 根据标记置零（跳过第一行和第一列）for (int i = 1; i < matrixSize; i++) {for (int j = 1; j < *matrixColSize; j++) {if (matrix[i][0] == 0 || matrix[0][j] == 0) {matrix[i][j] = 0;}}}// 处理第一行if (firstRowZero) {for (int j = 0; j < *matrixColSize; j++) {matrix[0][j] = 0;}}// 处理第一列if (firstColZero) {for (int i = 0; i < matrixSize; i++) {matrix[i][0] = 0;}}
}

代码说明

1. 标记逻辑：

   • 使用第一行和第一列的元素作为标记，记录哪些行和列需要被置零。

2. 特殊情况处理：

   • 额外记录第一行和第一列是否需要被置零，因为它们会被用作标记。

3. 置零操作：

   • 根据第一行和第一列的标记，将对应的行和列置零。

4. 原地修改：

   • 整个过程只使用了常数级别的额外空间，满足原地算法的要求。

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测试用例

以下是几个测试用例及其结果：

测试用例 1

输入：

matrix = [[1, 1, 1],[1, 0, 1],[1, 1, 1]
]

输出：

[[1, 0, 1],[0, 0, 0],[1, 0, 1]
]

测试用例 2

输入：

matrix = [[0, 1, 2, 0],[3, 4, 5, 2],[1, 3, 1, 5]
]

输出：

[[0, 0, 0, 0],[0, 4, 5, 0],[0, 3, 1, 0]
]

测试用例 3

输入：

matrix = [[1, 2, 3, 4],[5, 0, 7, 8],[9, 10, 11, 12]
]

输出：

[[1, 0, 3, 4],[0, 0, 0, 0],[9, 0, 11, 12]
]

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总结

本题通过利用矩阵的第一行和第一列作为标记，实现了原地置零的功能。这种方法不仅满足了原地算法的要求，还具有较高的效率。时间复杂度为 O(m × n)，空间复杂度为 O(1)。