整数类型

在现实世界中，整数是无穷的。但在计算机中，由于内存资源的有限性，我们只能表示有限范围的整数。

1. 整数类型的分类

在编程语言(如Java)中，整数类型主要分为以下几种：

1. byte: 1个字节，范围[-128, 127]
2. short: 2个字节，范围[-32768, 32767]
3. int: 4个字节，范围[-2^31, 2^31-1]
4. long: 8个字节，范围[-2^63, 2^63-1]
   每种类型都有对应的无符号版本(unsigned)，无符号类型只能表示非负数，但相同字节数下可以表示更大的正数范围。

2. 进制表示

我们日常使用十进制(逢十进一)，而计算机使用二进制(逢二进一)。例如：

• 十进制数 13 = 1×10^1 + 3×10^0

• 二进制数 1101 = 1×2^3 + 1×2^2 + 0×2^1 + 1×2^0 = 13(十进制)
  进制转换的基本方法：

• 十进制转二进制：除2取余，逆序排列
  例：13 ÷ 2 = 6 余 1
  6 ÷ 2 = 3 余 0
  3 ÷ 2 = 1 余 1
  1 ÷ 2 = 0 余 1
  所以 13 的二进制是 1101

• 二进制转十进制：按权展开
  例：1101 = 1×2^3 + 1×2^2 + 0×2^1 + 1×2^0 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13

3. 原码与补码

原码

原码是最直观的二进制表示，用最高位表示符号(0正1负)，其余位表示数值。
例如：+5 的原码是 00000101
-5 的原码是 10000101

但原码存在一个问题：用原码无法统一加减法运算。比如：
5 - 3 = 5 + (-3)，这个等式在原码下无法成立。

补码

补码的设计巧妙地解决了这个问题。对于负数，补码的计算方法是：

1. 取绝对值的二进制
2. 所有位取反
3. 最后加1

例如，-5的补码计算过程：

1. 5的二进制：00000101
2. 取反：11111010
3. 加1：11111011

使用补码的好处：

1. 统一了加减法运算电路
2. 0只有一种表示方式
3. 符合数学运算规律

4. 整数溢出

当运算结果超出数据类型的表示范围时，就会发生溢出。例如：

byte a = 127;
a++; // 结果为 -128

这是因为 127 的二进制补码是 01111111，加1后变成 10000000，解释为补码就是 -128。

总结

1. 计算机整数的有限性源于内存限制
2. 补码的设计既满足了数学运算规律，又简化了硬件实现
3. 在编程时要注意整数溢出问题
4. 选择合适的整数类型可以平衡内存占用和数值范围

这个例子也说明了计算机科学中一个重要的思想：问题可以在硬件层面(如使用补码)或软件层面(如溢出检测)解决，关键是找到最优方案。