这一节是关于子空间的真实大小。对于 $m\times n$ 的矩阵，它有 $n$ 个列，但是它真正的维数不一定为 $n$，维数可以由无关列的个数来得到。列空间的实际维度就是秩 $r$。
无关的概念是用于向量空间中的任意向量 ${\mathbf{v}}_1,...,{\mathbf{v}}_n$。这一节主要关注的是常用的子空间 —— 尤其是矩阵 $A$ 的列空间和零空间。“向量” 其实不一定是列向量，也可以是矩阵或函数；它们可以线性无关（或线性相关）。
对于基的理解：无关向量张成空间。
$$空间中的每一个向量都是基向量的唯一组合$$本节有四个重点：

1、无关向量 \kern 24pt (没有额外向量)
2、张成一个空间 \kern 10pt (足够的能生成余下的向量的向量)
3、空间的基 \kern 24pt (不多也不少)
4、空间的维度 \kern 18pt (基的向量个数)

一、线性无关

定义 \kern 10pt 当 $A\mathbf{x}=0$ 的解唯一解是 $\mathbf{x}=0$ 时，$A$ 的列是线性无关的。没有其它的组合使得 $A\mathbf{x}$ 是零向量。

当零空间 $N(A)$ 只有一个零向量时，$A$ 的列线性无关。下面一 ${\text{R}}^3$ 为例解释线性无关（和相关）：

1. 如果三个向量不在同一个平面内，则它们是无关的。除了 $0{\mathbf{v}}_1+0{\mathbf{v}}_2+0{\mathbf{v}}_3$ 之外，不存在其它 ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,{\mathbf{v}}_3$ 的组合可以得到零向量。如 Figure 3.4 所示：
2. 如果三个向量 ${\mathbf{w}}_1,{\mathbf{w}}_2,{\mathbf{w}}_3$ 在同一平面，则它们相关。

将无关的概念用在 $12$ 维空间中的 $7$ 个向量，如果它们都是 $A$ 的列且是无关的，那么零空间就只有 $\mathbf{x}=0$，没有任何一个向量是其它六个向量的组合。
换个表述方式，就是线性无关的第 $2$ 定义，该定义会用在任意向量空间中的任意向量序列。当向量是 $A$ 的列时，这两种定义完全相同。

定义 \kern 10pt 如果 $0{\mathbf{v}}_1+0{\mathbf{v}}_2+\cdots +0{\mathbf{v}}_n$ 是得到零向量的唯一组合，则向量序列 ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\cdots ,{\mathbf{v}}_n$ 线性无关。
$$\begin{gathered} 线性无关 \\ {x}_1{\mathbf{v}}_1+x_2{\mathbf{v}}_1+\cdots +x_n{\mathbf{v}}_n=0仅当所有x^{\prime }s都为0时成立(\mathrm{3.4.1}) \end{gathered}$$

若存在一个 $x^{\prime }s$ 不全为 $0$ 的组合可以得到 $0$，这个向量序列是相关的。
正确的表述方式：向量序列是线性无关的。可以简述为：向量是无关的。错误的表述方式：矩阵是无关的。
一个向量序列要么相关，要么无关，它们的组合可以得到零向量（$x^{\prime }s$ 不全为零）或不能得到。所以关键问题是：什么样的组合可以得到零向量？下面是 ${\text{R}}^2$ 中的一些例子：
（a）向量 $(1,0)$ 和 $(0,1)$ 是无关的。
（b）向量 $(1,0)$ 和 $(1,0.00001)$ 是无关的。
（c）向量 $(1,1)$ 和 $(-1,-1)$ 是相关的。
（d）向量 $(1,1)$ 和 $(0,0)$ 是相关的，这是因为零向量。
（e）在 ${\text{R}}^2$ 中，任意三个向量 $(a,b)，(c,d)，(e,f)$ 都是相关的。
从几何上看，$(1,1)$ 和 $(-1,-1)$ 都在同一条通过原点的直线上，它们是相关的。使用定义来看，找到 $x_1$ 和 $x_2$ 的一个组合，使得 $x_1(1,1)+x_2(-1,-1)=(0,0)$，同求解 $A\mathbf{x}=0$ 是一样的：$$\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]解得x_1=1，x_2=1$$$A$ 的列是相关的，因为它的零空间中存在非零向量。
如果 ${\mathbf{v}}^{\prime }s$ 中的一个向量是零向量，则该向量组一定是线性相关的。
${\text{R}}^2$ 中的三个向量不可能线性无关！一种解释是：矩阵 $A$ 的三个列则必定存在一个自由变量，那么 $A\mathbf{x}=0$ 就有一个特殊解。另一种解释是：如果前两个向量是无关的，那么它们的某种组合肯定能得到第三个向量。
下面是 ${\text{R}}^3$ 空间中的三个向量，如果其中一个是另一个的倍数，则它们相关。但是完整的测试应该三个向量一起，我们将这三个向量放在一个矩阵中，然后求解 $A\mathbf{x}=0$。

【例1】$A$ 的列是相关的，$A\mathbf{x}=0$ 有一个非零解：$$A\mathbf{x}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 3\\ 2& 1& 5\\ 1& 0& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}-3\\ 1\\ 1\end{array}\right]是-3\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right]+1\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right]+1\left[\begin{array}{c}3\\ 5\\ 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right]$$这个矩阵的秩只有 $r=2$。无关列会得到列满秩 $r=n=3$。
这个矩阵中行同样也是相关的，行 $1$ 减去行 $3$ 会得到零行。对于方阵，可以证明相关列则有相关行，反之亦然。
问题： 如何求解 $A\mathbf{x}=0$？系统的方法是消元法。$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 3\\ 2& 1& 5\\ 1& 0& 3\end{array}\right]简化得R=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 3\\ 0& 1& -1\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$$解 $\mathbf{x}=(-3,1,0)$ 正好就是特殊解。这个说明自由列（列 $3$）是主元列的组合，这种情况下不可能无关。

列满秩 \kern 10pt 当 $A$ 的秩 $r=n$ 时，它的列是无关的。此时有 $n$ 个主元没有自由变量。零空间中仅有 $\mathbf{x}=0$。

有一种情形很重要。假设 $A$ 有 $7$ 列，每列有 $5$ 个分量（$m=5$ 小于 $n=7$），则它的列肯定是相关的。${\text{R}}^5$ 中任意的 $7$ 个向量都是相关的，$A$ 的秩不可能大于 $5$，$5$ 个行不可能超过 $5$ 个主元。$A\mathbf{x}=0$ 至少有 $7-5=2$ 个自由变量，因此它有非零解 —— 这有意味着 $A$ 的列是相关的。

如果 $n>m$，则 ${\text{R}}^m$ 中的任意 $n$ 个向量都是相关的。

这种类型的矩阵列比行多，它既矮又宽。如果 $n>m$，则这些列必然相关，因为 $A\mathbf{x}=0$ 有非零解。
如果 $n\le m$，则这些列可能相关也可能无关，消元可以得到 $r$ 个主元列，这 $r$ 个主元列是无关列。
注： 另一种描述无关的方法是：一个向量是其它向量的组合。这种描述方法非常简洁，但是我们并没有使用这种定义。我们定义比较长：除了每个系数 $x$ 都是零的平凡组合外，存在某个组合可能得到零向量。这种定义方式排除了简单得到零向量的可能，如果一个向量是其它向量的组合，这个向量的系数是 $x=1$，这种情况下该向量特殊化了。
这个问题的重点是，我们的定义没有选择一个特定的向量，$A$ 的每一列都是同等对待的。当我们检验 $A\mathbf{x}=0$ 时，他可能有非零解也可能没有，而这样比去检验最后一列（或第一列，或中间的某一列）是不是其它列的组合要好一些。

二、向量张成子空间

对于列空间，从列 ${\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_n$ 开始，子空间被所有的组合 $x_1{\mathbf{v}}_1+\cdots +x_n{\mathbf{v}}_n$ 所填满，即列空间包含 $A\mathbf{x}$ 的所有组合。关于张成（span）的描述：列空间是由列向量张成的。

定义 \kern 10pt 若一个向量组的线性组合填满一个空间，则该向量组张成这个空间。

$$矩阵的列张成列空间，它们可能是相关的。$$【例2】${\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$ 和 ${\mathbf{v}}_2=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$ 张成整个二维空间 ${\text{R}}^2$。

【例3】${\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]，{\mathbf{v}}_2=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]，{\mathbf{v}}_3=\left[\begin{array}{c}4\\ 7\end{array}\right]$ 也张成整个二维空间 ${\text{R}}^2$。

【例4】${\mathbf{w}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$ 和 ${\mathbf{w}}_2=\left[\begin{array}{c}-1\\ -1\end{array}\right]$ 只张成 ${\text{R}}^2$ 中的一条直线，${\mathbf{w}}_1$ 这一个向量也可以。
考虑两个三维空间中从 $(0,0,0)$ 出发的向量，一般来说它们可以张成一个平面，它们的线性组合可以得到这个平面。在数学上，还有其它的可能性：两个向量可以张成一条直线，三个向量可以张成整个 ${\text{R}}^3$，或者一个平面，甚至它们可以只张成一条直线；$10$ 个向量也可能只张成一个平面，此时它们不是无关的。
列张成列空间，由行张成的空间称为行空间，即行所有的组合得到行空间。

定义 \kern 10pt 矩阵的行空间是 ${\text{R}}^n$ 的子空间，行张成行空间。
$$A的行空间是C(A^T)，就是A^T的列空间。$$

$m\times n$ 的矩阵的行有 $n$ 个分量，它们是 ${\text{R}}^n$ 中的向量 —— 或者把它们直接写成列向量，我们可以通过转置矩阵来实现，不再关注 $A$ 的行，而是关注$A^T$ 的列。同样的数字，但是现在它是 $C(A^T)$ 的列空间。$A$ 的行空间是 ${\text{R}}^n$ 的子空间。

【例5】描述 $A$ 的列空间与行空间：$$A=\left[\begin{array}{cc}1& 4\\ 2& 7\\ 3& 5\end{array}\right]与A^T=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 7& 5\end{array}\right]，此处m=3，n=2$$$A$ 的列空间是由它两个列张成的 ${\text{R}}^3$ 中的平面，行空间是由它的三行（$A^T$ 的三列）所张成的整个 ${\text{R}}^2$ 空间。记住：行在 ${\text{R}}^n$ 中张成行空间，列在 ${\text{R}}^m$ 中张成列空间。同样的数字，不同的向量，不同的空间。

三、向量空间的基

两个向量不能张成整个 ${\text{R}}^2$，就算它们无关也不行；四个向量不可能无关，虽然它们可以张成整个 ${\text{R}}^3$。我们需要足够多的可以张成空间的向量（不能多），它就是 “基”（basis）。

定义 \kern 10pt 向量空间的基是一组向量，它具有两个性质：$$基向量线性无关，它们能张成空间。$$

这两个性质是线性代数的基础，空间中的每一个向量 $\mathbf{v}$ 都是基向量的组合，因为基向量张成这个空间。除此之外，得到向量 $\mathbf{v}$ 的组合是唯一的，因为基向量 ${\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_n$ 是无关的：$$有且只有一种将向量\mathbf{v}写成基向量的组合方式。$$原因： 假设 $\mathbf{v}=a_1{\mathbf{v}}_1+\cdots +a_n{\mathbf{v}}_n$ 且 $\mathbf{v}=b_1{\mathbf{v}}_1+\cdots +b_n{\mathbf{v}}_n$，两式相减得 $(a_1-b_1){\mathbf{v}}_1+\cdots +(a_n-b_n){\mathbf{v}}_n=0$，因为基向量 ${\mathbf{v}}^{\prime }s$ 是无关的，所以每个 $a_i-b_i=0$，因此 $a_i=b_i$，即只有一种得到 $\mathbf{v}$ 的组合方式。

【例6】$I=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$ 的列是 ${\text{R}}^2$ 的标准基。$$基向量\mathbf{i}=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]，\mathbf{j}=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]是无关的，它们张成{\text{R}}^2$$这一组是最好想到的基，向量 $\mathbf{i}$ 是横向移动，向量 $\mathbf{j}$ 是纵向移动。$3\times 3$ 的单位矩阵的列是标准基 $\mathbf{i}，\mathbf{j}，\mathbf{k}$，$n\times n$ 的单位矩阵的列就是 ${\text{R}}^n$ 的标准基（Standard basis）。
但是基是不唯一的，一个向量空间有无数的基。

【例7】（重要）每一个 $n\times n$ 的可逆矩阵的所有列都是 ${\text{R}}^n$ 的一组基：$$\begin{array}{c}可逆矩阵\\ 无关列\\ 列空间是{\text{R}}^3\end{array}A=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right]\begin{array}{c}奇异矩阵\\ 相关列\\ 列空间\ne {\text{R}}^3\end{array}B=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& 1& 2\\ 1& 1& 2\end{array}\right]$$$A\mathbf{x}=0$ 的唯一解是 $\mathbf{x}=A^{-1}0=0$，它的列是无关的，张成整个 ${\text{R}}^n$ 空间 —— 因为每个向量 $\mathbf{b}$ 都是列的组合。$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 总有解 $\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}$，总结如下：

当向量 ${\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_n$ 恰好是 $n\times n$ 可逆矩阵的列时，这些向量是 ${\text{R}}^n$ 的一组基。因此 ${\text{R}}^n$ 有无穷多组基。

当这些列线性相关，我们只取主元列 —— 上述 $B$ 有主元的前两列，它们无关且张成列空间。

$A$ 的主元列是列空间的一组基。$A$ 的主元行是行空间的一组基，行简化阶梯形式 $R$ 的主元行也是 $A$ 的一组基。

【例8】一个不可逆矩阵，它的列不是任何空间的基。$$\begin{array}{c}一个主元列\\ 一个主元行(r=1)\end{array}A=\left[\begin{array}{cc}2& 4\\ 3& 6\end{array}\right]简化为R=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 0\end{array}\right]$$$A$ 的列 $1$ 是主元列，单独这个列是列空间的基，$A$ 的第二列是列空间另一个不同的基，因此第一列的所有非零倍数都是列空间的基。一般我们选择主元列作为基。
注意到 $R$ 的主元列 $(1,0)$ 的尾部是 $0$，这个列是 $R$ 列空间的基，但是它不再属于 $A$ 的列空间，$A$ 和 $R$ 的列空间不相同，它们的基也不同。（它们的维度相同。）
$A$ 的行空间与 $R$ 的行空间相同，它包含 $(2,4)，(1,2)$ 以及所有的这些向量任意倍数，对于基我们永远有无数种选择，一般情况下我们选择 $R$ 的非零行（有主元的行），所以 $A$ 这个秩一矩阵的基只有一个向量：$$列空间的基：\left[\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right]行空间的基：\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]$$【例9】找到下面秩二矩阵的列空间与行空间的基：$$R=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 3\\ 0& 0& 1& 4\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$列 $1$ 和列 $3$ 是主元列，它们都是 $R$ 列空间的一组基，$R$ 的列空间中的向量都具有 $\mathbf{b}=(x,y,0)$ 的形式，$R$ 的列空间都是整个三维空间 $xyz$ 中的 $xy$ 平面，这个平面不是 ${\text{R}}^2$，它是 ${\text{R}}^3$ 的一个子空间。列 $2$ 和列 $3$ 同样也是列空间的一组基，我们一般选择主元列。
$R$ 的行空间是 ${\text{R}}^4$ 的子空间，它最简单的基就是 $R$ 的两个非零行。第三行（零行）也在行空间中，但是它不能作为行空间的基，因为基必须线性无关。

问题 \kern 10pt 给定 ${\text{R}}^7$ 中的 $5$ 个向量，如何找到这 $5$ 个向量所张成的空间的一组基？

解一：将这些向量当成矩阵 $A$ 的行，利用消元法找到 $R$ 的非零行。
解二：将这 $5$ 个向量放入 $A$ 的列，通过消元找到 $A$ 的主元列（不是 $R$ 的），这些主元列就是列空间的一组基。
其它的基可以会有多或少一些的向量吗？答案是没有，向量空间的所有基都有相同的向量个数。
$$任何一组基向量的个数，就是空间的维度。$$

四、向量空间的维度

我们可以证明上述结论：我们可以选择不同的基向量，但是每组基向量的个数是相同的。

如果 ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\cdots ,{\mathbf{v}}_n$ 和 ${\mathbf{w}}_1,{\mathbf{w}}_2,\cdots ,{\mathbf{w}}_n$ 是同一个向量空间的基，那么 $m=n$。

证明： 假设 ${\mathbf{w}}^{\prime }s$ 的个数比 ${\mathbf{v}}^{\prime }s$ 的个数多，即 $n>m$，我们需要导出矛盾。因为 ${\mathbf{v}}^{\prime }s$ 是一组基，所以 ${\mathbf{w}}_1$ 一定是 ${\mathbf{v}}^{\prime }s$ 的组合，如果 ${\mathbf{w}}_1=a_{11}{\mathbf{v}}_1+a_{21}{\mathbf{v}}_2+\cdots +a_{m1}{\mathbf{v}}_m$，这个就是两个矩阵相乘 $VA$ 的第一列：$$\begin{array}{c}每个\mathbf{w}都是\\ {\mathbf{v}}^{\prime }s的组合\end{array}W=\left[\begin{array}{cccc}{\mathbf{w}}_1& {\mathbf{w}}_2& \cdots & {\mathbf{w}}_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{\mathbf{v}}_1& {\mathbf{v}}_2& \cdots & {\mathbf{v}}_m\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& & ⋮\\ a_{m1}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]=VA$$我们不清楚每个 $a_{ij}$ 是多少，但是我们知道 $A$ 的形状（$m\times n$）。第二个向量 ${\mathbf{w}}_2$ 同样也是 ${\mathbf{v}}^{\prime }s$ 的组合，组合的系数就是 $A$ 的第二列，关键是 $A$ 的元素对于每个 $\mathbf{v}$ 都有一行（$a_{11}{\mathbf{v}}_1,a_{12}{\mathbf{v}}_1,\cdots ,a_{1n}{\mathbf{v}}_1$），对应于每个 $\mathbf{w}$ 有一列（每个 $\mathbf{w}$ 的系数对应于 $A$ 的列）。由于 $n>m$，所以 $A$ 是一个又矮又宽的矩阵，$r<n$，所以 $A\mathbf{x}=0$ 有非零解。
$A\mathbf{x}=0$ 则有 $VA\mathbf{x}=0$，即 $W\mathbf{x}=0$，即有 ${\mathbf{w}}^{\prime }s$ 的组合为零，所以 ${\mathbf{w}}^{\prime }s$ 相关。因此 ${\mathbf{w}}^{\prime }s$ 不可能是基，假设 $n>m$ 的情况下的两种基是不存在的。
如果 $m>n$，我们可以交换 ${\mathbf{v}}^{\prime }s$ 和 ${\mathbf{w}}^{\prime }s$，其余步骤同上。唯一无法导出矛盾的情况就是 $m=n$，即完成证明。
每组基向量的个数与空间有关，而不是特定的基。对于没一组基，这个数字不会变，它代表这空间的自由度。${\text{R}}^n$ 空间的维度是 $n$，下面介绍这个重要概念 “维”，它也适用于其它的空间。

定义 \kern 10pt 空间的维度就是每组基的向量个数。

这个符合我们的直觉，通过 $\mathbf{v}=(1,5,2)$ 的直线维度为 $1$，它是一个子空间，这个子空间的基就是一个向量 $\mathbf{v}$。 垂直于该直线的平面是 $x+5y+2z=0$，这个平面的维度为 $2$。我们可以找到这个空间的一组基 $(-5,1,0)$ 和 $(-2,0,1)$，这组基只包含两个向量，所以维度是 $2$。
这个平面是矩阵 $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 5& 2\end{array}\right]$ 的零空间，$A$ 有两个自由变量，基的两个向量 $(-5,1,0)$ 和 $(-2,0,1)$ 就是 $A\mathbf{x}=0$ 的两个特殊解。$n-r$ 个特殊解是零空间的一组基。$C(A)$ 的维度是 $r$，$N(A)$ 的维度是 $n-r$。
线性代数语言注释： 我们不会说 “空间的秩” 或者 “基的维度” 或 “矩阵的基”，这些术语没有意义。正确的表述为 “列空间的维度” 等于 “矩阵的秩”。

五、矩阵空间和函数空间的基

无关、基、维度这些概念并不局限于列向量，也可以用在矩阵空间和函数空间。我们可以问三个 $3\times 4$ 的矩阵 $A_1,A_2,A_3$ 是否无关，它们是在所有 $3\times 4$ 的矩阵所形成的空间中，某些组合可能得到零矩阵。我们也可以问 $3\times 4$ 的矩阵空间的维度是多少？（是 $12$。）
微分方程 $\frac{{\text{d}}^{2}y}{\text{d}{x}^2}=y$ 有一个解空间，其中的一组基是 $y=e^x$ 与 $y=e^{-x}$，通过基函数的个数可知这个所有解形成的解空间的维度是 $2$（因为是二阶导数，所以维度为 $2$）。
矩阵空间和函数空间相对于前的向量空间可能会有些奇怪，但是如果完全理解了基和维度的概念后，就可以将它们应用到除列向量之外的 “向量”（例如矩阵、函数等） 中。
矩阵空间 \kern 10pt 向量空间 $\text{M}$ 包含所有的 $2\times 2$ 的矩阵，它的维度是 $4$。$$一组基是A_1,A_2,A_3,A_4=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$$这些矩阵线性无关，我们不将它们看成列向量，而是整个矩阵。这 $4$ 个矩阵组合可以生成 $\text{M}$ 中的任意矩阵，因此它们张成了矩阵空间：$$\begin{array}{c}每个A都是\\ 基矩阵的组合\end{array}{c}_1{A}_1+c_2{A}_2+c_3{A}_3+c_4{A}_4=\left[\begin{array}{cc}{c}_1& c_2\\ c_3& c_4\end{array}\right]=A$$当且仅当所有的 $c^{\prime }s$ 都为零时，$A$ 才是零矩阵 —— 这就证明了 $A_1,A_2,A_3,A_4$ 是无关的。
$A_1,A_2,A_4$ 这三个矩阵是上三角矩阵这个子空间的一组基，它的维度是 $3$；$A_1,A_4$ 是对角矩阵的一组基；那么对称矩阵的基是什么？$A_1,A_4,A_2+A_3$ 是它的一组基。
更深入一些，考虑 $n\times n$ 矩阵所形成的空间，其中一组基就是每个矩阵都只有一个元素是非零数（这个元素是 $1$），则有 $n^2$ 种可能性，因此共有 $n^2$ 个基矩阵：$$\begin{array}{l}n\times n矩阵所形成的空间，维度是n^2\\ 上三角矩阵所形成的子空间，维度是\frac{1}{2}{n}^2+\frac{1}{2}n\\ 对角矩阵所形成的子空间，维度是n\\ 对称矩阵所形成的子空间，维度是\frac{1}{2}{n}^2+\frac{1}{2}\end{array}$$函数空间 \kern10pt 方程 $\frac{{\text{d}}^{2}y}{\text{d}{x}^2}=0,\frac{{\text{d}}^{2}y}{\text{d}{x}^2}=-y,\frac{{\text{d}}^{2}y}{\text{d}{x}^2}=y$ 都与二阶导数有关，使用微积分我们可以解出函数 $y(x)$：$$\begin{array}{ll}{y}^{\prime \prime }=0& 通解是y=cx+d\\ y^{\prime \prime }=-y& 通解是y=c\sin x+d\cos x\\ y^{\prime \prime }=y& 通解是y=c{e}^x+d{e}^{-x}\end{array}$$$y^{\prime \prime }=-y$ 的解空间有两个基函数 $\sin x$ 和 $\cos x$；$y^{\prime \prime }=0$ 的解空间的两个基函数是 $x$ 和 $1$，这是二阶导数的零空间。这两个函数空间的维度都是 $2$（因为是二阶方程）。
$y^{\prime \prime }=2$ 所有的解无法形成一个子空间，因为右侧得到 $b=2$ 不是 $0$，它的一个特解是 $y=x^2$，完全解是 $y(x)=x^2+cx+d$，这些函数都满足 $y^{\prime \prime }=2$。注意，特解加上零空间中任意的函数 $cx+d$ 就是完全解。线性微分方程和线性矩阵方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 很像，但是我们是用微积分的方法求解，而不是线性代数。
只包含零空间的空间 $\text{Z}$，它的维度是 $0$，它是一个空集合（不包含任何向量）是 $\text{Z}$ 的基。基中不允许存在零向量，因为那样的话基就不可能线性无关。

六、主要内容总结

1. 如果 $\mathbf{x}=0$ 是 $A\mathbf{x}=0$ 的唯一解，则 $A$ 的列线性无关。
2. 如果向量 ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\cdots ,{\mathbf{v}}_r$ 的组合填满一个空间，则它们张成空间。
3. 基是线性无关且张成空间的向量。这个空间的每个向量都是基向量的唯一组合。
4. 空间中所有的基都有相同的向量个数，基中向量的个数就是空间的维度。
5. 主元列是列空间的一组基，维度是 $r$。

七、例题

【例10】已知两个向量 ${\mathbf{v}}_1=(1,2,0)，{\mathbf{v}}_2=(2,3,0)$，回答下列问题：
（a）它们是否线性无关？
（b）它们是某一个空间的基吗？
（c）它们张成什么空间 $\text{V}$？
（d）空间 $\text{V}$ 的维度是多少？
（e）哪个矩阵 $A$ 的列空间是 $\text{V}$？
（f）哪个矩阵 $A$ 的零空间是 $\text{V}$？
（g）描述所有的向量 ${\mathbf{v}}_3$，使得 ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,{\mathbf{v}}_3$ 是 ${\text{R}}^3$ 的一组基。
解： （a）${\mathbf{v}}_1$ 和 ${\mathbf{v}}_2$ 是线性无关的，因为得到 $0$ 的唯一组合是 $0{\mathbf{v}}_1+0{\mathbf{v}}_2$。
（b）是的，它们是它们所张成空间的一组基。
（c）空间 $\text{V}$ 包含所有的向量 $(x,y,0)$，就是 ${\text{R}}^3$ 空间的 $xy$ 平面。
（d）空间 $\text{V}$ 的维度是 $2$，因为它的基有两个向量。
（e）如果 $A$ 每一列都是 ${\mathbf{v}}_1$ 和 ${\mathbf{v}}_2$ 的线性组合，则空间 $\text{V}$ 的任意的 $3\times n$ 的矩阵 $A$ 的列空间，$A$ 的秩为 $2$。特殊情况 $A$ 只有两列 ${\mathbf{v}}_1$ 和 ${\mathbf{v}}_2$。
（f）每行都是 $(0,0,1)$ 的倍数的 $m\times 3$ 的矩阵 $B$，它是秩一矩阵，零空间是 $\text{V}$。特殊的 $B=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\end{array}\right]$，有 $B{\mathbf{v}}_1=0，B{\mathbf{v}}_2=0$。
（g）任意的第三向量 ${\mathbf{v}}_3=(a,b,c)$，其中 $c\ne 0$，均可构成 ${\text{R}}^3$ 的一组基。

【例11】${\mathbf{w}}_1,{\mathbf{w}}_2,{\mathbf{w}}_3$ 这三个向量线性无关，它们的线性组合得到 ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,{\mathbf{v}}_3$。将组合写成矩阵形式 $V=WB$：$$\begin{array}{l}{\mathbf{v}}_1={\mathbf{w}}_1+{\mathbf{w}}_2\\ {\mathbf{v}}_2={\mathbf{w}}_1+2{\mathbf{w}}_2+{\mathbf{w}}_3\\ {\mathbf{v}}_3={\mathbf{w}}_2+c{\mathbf{w}}_3\end{array}就是\left[\begin{array}{ccc}{\mathbf{v}}_1& {\mathbf{v}}_2& {\mathbf{v}}_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{\mathbf{w}}_1& {\mathbf{w}}_2& {\mathbf{w}}_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 1& 2& 1\\ 0& 1& c\end{array}\right]$$怎样可以验证 $V=WB$ 是否有无关列？如果 $c\ne 1$，证明 ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,{\mathbf{v}}_3$ 线性无关。如果 $c=1$，证明 ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,{\mathbf{v}}_3$ 线性相关。
解： 我们使用第一个定义验证 $V$ 是否有无关列：$V$ 的零空间只包含零向量，$\mathbf{x}=0$ 是 $V\mathbf{x}=0$ 成立的唯一组合。
如果 $c=1$，可以通过两种方式判断列的相关性：首先，${\mathbf{v}}_1+{\mathbf{v}}_3={\mathbf{v}}_2$（${\mathbf{w}}_1+{\mathbf{w}}_2$ 与 ${\mathbf{w}}_2+{\mathbf{w}}_3$ 相加得 ${\mathbf{w}}_1+2{\mathbf{w}}_2+{\mathbf{w}}_3$ 即是 ${\mathbf{v}}_2$）。换言之，${\mathbf{v}}_1-{\mathbf{v}}_2+{\mathbf{v}}_3=0$，即证明所有的 ${\mathbf{v}}^{\prime }s$ 不是无关的；
另一方法是检验 $B$ 的零空间，如果 $c=1$，向量 $\mathbf{x}=(1,-1,1)$ 在零空间中，有 $B\mathbf{x}=0$，则有 $WB\mathbf{x}=0$，即是 $V\mathbf{x}=0$，因此所有的 ${\mathbf{v}}^{\prime }s$ 是相关的。零空间中的向量 $\mathbf{x}=(1,-1,1)$ 同样可以得到 ${\mathbf{v}}_1-{\mathbf{v}}_2+{\mathbf{v}}_3=0$。
假设 $c\ne 1$，则矩阵 $B$ 是可逆的。所以若 $\mathbf{x}$ 是任意的非零向量，则有 $B\mathbf{x}$ 也不为零，因为 ${\mathbf{w}}^{\prime }s$ 是无关的，所以可得 $WB\mathbf{x}$ 也不为零。因为 $V=WB$，即有 $V\mathbf{x}$ 不为零，也就说明 $\mathbf{x}$ 不在 $V$ 的零空间中，即证明了 ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,{\mathbf{v}}_3$ 线性无关。
一般规则：如果 $B$ 可逆，则来自无关的 ${\mathbf{w}}^{\prime }s$ 的 ${\mathbf{v}}^{\prime }s$ 也是无关的。如果这些向量在 ${\text{R}}^3$ 中，则它们不仅是无关的，也是 ${\text{R}}^3$ 的一组基。当转换矩阵 $B$ 是可逆的，则它将基 ${\mathbf{w}}^{\prime }s$ 转换成的 ${\mathbf{v}}^{\prime }s$ 也是基。

【例12】（重要例题）假设 ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\cdots ,{\mathbf{v}}_n$ 是 ${\text{R}}^n$ 的一组基，$A$ 是 $n\times n$ 的可逆矩阵。证明 $A{\mathbf{v}}_1,A{\mathbf{v}}_2,\cdots ,A{\mathbf{v}}_n$ 也是 ${\text{R}}^n$ 的一组基。
解： 矩阵语言：将基向量 ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\cdots ,{\mathbf{v}}_n$ 放在一个可逆矩阵 $V$ 的列中，则 $A{\mathbf{v}}_1,A{\mathbf{v}}_2,\cdots ,A{\mathbf{v}}_n$ 就是 $AV$ 的列，因为 $A$ 可逆，则 $AV$ 也可逆，它的列就是一组基。
向量语言：假设 $c_{1}A{\mathbf{v}}_1+c_{2}A{\mathbf{v}}_2+\cdots +c_{n}A{\mathbf{v}}_n=0$，也可以写成 $A\mathbf{v}=0$，其中 $\mathbf{v}=c_1{\mathbf{v}}_1+c_2{\mathbf{v}}_2+\cdots +c_n{\mathbf{v}}_n$。左边同时乘上 $A^{-1}$，可得 $\mathbf{v}=0$，因为 ${\mathbf{v}}^{\prime }s$ 是线性无关的，所以所有的 $c_i=0$，即证明了 $A{\mathbf{v}}^{\prime }s$ 的无关性。
为了证明 $A{\mathbf{v}}^{\prime }s$ 可以张成 ${\text{R}}^n$，只需证明 $c_{1}A{\mathbf{v}}_1+c_{2}A{\mathbf{v}}_2+\cdots +c_{n}A{\mathbf{v}}_n=\mathbf{b}$ 的可解性，两边左乘 $A^{-1}$ 得， $c_1{\mathbf{v}}_1+c_2{\mathbf{v}}_2+\cdots +c_n{\mathbf{v}}_n=A^{-1}\mathbf{b}$，因为 ${\mathbf{v}}^{\prime }s$ 是一组基，所以该方程一定有解。