飞机布雷盖航程公式

飞机布雷盖航程公式

  • 1. 喷气式飞机布雷盖航程公式推导
  • 2. 螺旋桨飞机布雷盖航程公式推导
  • 3. 喷气式飞机与螺旋桨飞机的差异分析
    • 3.1 喷气式飞机的推力产生机制
    • 3.2 螺旋桨推进推力产生机制

布雷盖航程公式(Breguet Range Equation)是描述飞行器巡航飞行阶段航程的重要方式,它是根据航迹积分得到的。

1. 喷气式飞机布雷盖航程公式推导

推导遵循以下假设:

  • 飞机以恒定马赫数 M a Ma Ma 和恒定高度巡航;
  • 升阻比 L D \frac {L}{D} DL 保持恒定;
  • 比耗油率 c c c (产生单位推力消耗的燃油重量);

喷气式飞机的燃油消耗率与推力成正比:
d W d t = − c ⋅ T (1) \frac {dW}{dt}=-c\cdot T \tag 1 dtdW=cT(1)
上式中:

  • W W W 是飞机的重量;
  • T T T 是巡航阶段发动机的推力;
  • c c c 是比耗油率;

在平飞巡航时,发动机推力 T T T 等于阻力 D D D,而升力 L L L 等于重量 W W W,于是有:
T = D = W ( L / D ) (2) T=D=\frac {W}{(L/D)} \tag{2} T=D=(L/D)W(2)
综合(1)、(2)有:
d W d t = − c ⋅ W ( L / D ) (3) \frac {dW}{dt}=-c\cdot\frac {W}{(L/D)} \tag{3} dtdW=c(L/D)W(3)
那么:
d t = − d W ⋅ ( L / D ) c ⋅ W (4) dt =- dW \cdot \frac {(L/D)}{c\cdot W} \tag4 dt=dWcW(L/D)(4)
航程计算公式:
R = ∫ V d t (5) R=\int V dt \tag5 R=Vdt(5)
上式中:

  • R R R 是航程;
  • V V V 是巡虛速度;

代入 (4) 式有:
R = ∫ t 0 t 1 V d t = ∫ W 0 + W f W 0 − V ( L / D ) c ⋅ W d W = V ⋅ ( L / D ) c l n W 0 + W f W 0 = c o n s t ⋅ 1 c ⋅ ( M a ⋅ L D ) l n W 0 + W f W 0 (6) \begin {align} R= &\int_{t_0}^{t_1}Vdt \\ &= \int_{W_0+W_f}^{W_0}-V\frac{(L/D)}{c\cdot W}dW\\ &=V\cdot\frac{(L/D)}{c}ln\frac{W_0+W_f}{W_0}\\ &=const\cdot \frac{1}{c}\cdot(Ma\cdot\frac{L}{D})ln\frac{W_0+W_f}{W_0} \end {align} \tag6 R=t0t1Vdt=W0+WfW0VcW(L/D)dW=Vc(L/D)lnW0W0+Wf=constc1(MaDL)lnW0W0+Wf(6)
上式中:

  • W 0 W_0 W0 是起飞时除燃料以外的其他重量;
  • W f W_f Wf 是携带的燃料重量;
  • M a Ma Ma 是飞行马赫数;
  • c o n s t const const 是一个转换常数;

上式说明,对于喷气式飞机要增加航程可以有以下措施:

  • 对于气动设计师,应该使巡航效率 M a ⋅ L D Ma\cdot \frac {L}{D} MaDL 尽可能大;
  • 对于航空发动机研发者,应该使比耗油率 c c c 尽可能低;
  • 对于结构设计师,应使结构更轻以使 W 0 W_0 W0 更小;
  • 提高巡航速度有助于增加航程,但要权衡速度与燃油效率的关系;

2. 螺旋桨飞机布雷盖航程公式推导

推导遵循以下假设:

  • 飞机以恒定马赫数 M a Ma Ma 和恒定高度巡航;
  • 升阻比 L D \frac {L}{D} DL 保持恒定;
  • 螺旋桨功率转化效率 η \eta η 保持恒定;
  • 比耗油率 c P c_P cP (产生单位功率消耗的燃油重量);

螺旋桨飞机的燃油消耗率与发动机输出功率 P P P 成正比:
d W d t = − c P ⋅ P (7) \frac {dW}{dt}=-c_P\cdot P \tag 7 dtdW=cPP(7)
平飞巡航时,所需的功率为:
P = T ⋅ V η = D ⋅ V η = W ⋅ V η ⋅ ( L / D ) (8) P=\frac{T\cdot V}{\eta}=\frac {D\cdot V}{\eta} = \frac {W\cdot V}{\eta\cdot(L/D)} \tag8 P=ηTV=ηDV=η(L/D)WV(8)
结合 (7)、(8) 有:
d W d t = − c P ⋅ W ⋅ V η ⋅ ( L / D ) (9) \frac {dW}{dt}=-c_P\cdot \frac {W\cdot V}{\eta \cdot (L/D)} \tag 9 dtdW=cPη(L/D)WV(9)
那么有如下航程计算公式:
R = ∫ t 0 t 1 V d t = ∫ W 0 + W f W 0 − V ( η ⋅ ( L / D ) c P ⋅ W ⋅ V ) ⋅ d W = η ⋅ ( L / D ) c P l n W 0 + W f W 0 (10) \begin {align} R= &\int_{t_0}^{t_1}Vdt \\ &= \int_{W_0+W_f}^{W_0}-V(\frac{\eta \cdot (L/D)}{c_P\cdot W\cdot V})\cdot dW\\ &=\frac{\eta\cdot(L/D)}{c_P}ln\frac{W_0+W_f}{W_0} \end {align} \tag{10} R=t0t1Vdt=W0+WfW0V(cPWVη(L/D))dW=cPη(L/D)lnW0W0+Wf(10)
上式中各符号含义与前文保持一致。可以发现,在螺旋桨飞机的航程公式中,飞行速度 V V V 被抵消,航程与速度无直接关系。

3. 喷气式飞机与螺旋桨飞机的差异分析

3.1 喷气式飞机的推力产生机制

喷气式发动机的推力产生过程基于动量变化原理,即通过高速喷出气流产生反作用力,整个过程可分为以下几个步骤:

  • (1)吸入空气:空气被吸入发动机并压缩,进入燃烧室;
  • (2)燃烧与膨胀:燃料在燃烧室中与压缩空气混合燃烧,产生高温高压的气体。
  • (3)喷气排出:高温气体通过涡轮和尾喷管高速喷出,喷出气流的动量与进入气流的动量差形成推力。

在这个过程中,推力的大小主要由喷出的气体流速和质量流量决定。喷气发动机产生的推力主要与气流速度的增量(即出口与入口的速度差)相关,而不是与外部飞行速度直接相关,喷气发动机的推力在亚声速范围内可以保持相对稳定。因此,喷气发动机的推力有以下特点:

  • 动量不随速度明显变化:即使飞行速度增加,喷气发动机内部产生的动量增量(出口与入口速度差)相对恒定。因此,推力不会显著随飞行速度变化。
  • 推力与飞行速度相对独立:喷气式发动机推力的产生更多依赖于内部的燃烧和气流加速过程,飞行速度的增加不会直接减少喷气排出速度,推力不会产生显著变化。

3.2 螺旋桨推进推力产生机制

螺旋桨推进的推力产生机制是通过桨叶旋转产生“推力”,类似于旋转的机翼,螺旋桨叶片旋转时会产生升力,这种升力在前进方向上的分量就是推力。螺旋桨推力随着飞行速度变化而显著变化的原因如下:

  • 相对风速变化的影响:螺旋桨的推力取决于叶片相对于空气的相对速度,相对速度是螺旋桨的旋转速度与飞机前进的合成速度。当飞行速度增加时,螺旋桨叶片的相对气流的角度(迎角)会发生变化,这会显著影响螺旋桨的气动性能和推力输出。随着飞行速度增加,迎角减小,螺旋桨的推力会减小,当飞行速度增加到一定程序时,螺旋桨的迎角会降低到一个低效区,导致推力急剧下降。
  • 桨叶阻力的影响:螺旋桨叶片的末端在高速飞行时会接近或超过声速,会产生激波从而增加阻力并降低螺旋桨效率,进一步减小了推力。(高速时,螺旋桨的推进效率会迅速降低)

相反,螺旋桨飞机的功率需求不随速度显著变化。功率的推力和速度的乘积,其定义如下:
P = T ⋅ V (11) P=T\cdot V \tag {11} P=TV(11)
在低速时,推力 T T T 相对较高,而速度 V V V 较低; 在高速时,推力 T T T 减小,而速度 V V V 增加。这种反向变化导致了功率 P P P 随速度的变化较为平缓,不会像推力那样随速度剧烈变化。

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